矩阵指数 e^{At}
矩阵指数 e^{At} = Σ(At)ᵏ/k! 是线性微分方程组 ẋ = Ax 的解算子：初始状态被它「搬运」到 t 时刻。本工具按特征值三分支（相异实根/重根/共轭复根）给出闭式解，并用 60 项级数对照验证。
矩阵指数 e^At = Σ(At)ᵏ/k! 是线性微分方程组 ẋ = Ax 的解算子。按特征值结构分三条闭式路径：相异实根、重根、共轭复根——本工具逐分支给出并与级数截断交叉验证。
什么是矩阵指数计算器？
标量世界 ẋ = ax 的解是 e^{at}x₀，把 a 换成矩阵 A、数换成向量，解就是 e^{At}x₀——但「矩阵的指数」必须靠级数定义，且不同特征值结构给出截然不同的几何行为：实根是沿特征方向的伸缩、复根是旋转加衰减包络。
弹簧振子、RLC 电路、马尔可夫链的长期行为全由它的谱决定。
e^{At} = Σₖ (At)ᵏ/k!；相异实根用 Putzer：e^{At} = e^{λ₁t}·I + (e^{λ₂t}−e^{λ₁t})/(λ₂−λ₁)·(A−λ₁I)
重根时 e^{At} = e^{λt}(I + t(A−λI))；复根 λ = α±βi 时 e^{At} = e^{αt}(cos βt·I + sin βt/β·(A−αI))。
如何使用矩阵指数计算器
- 1
输入 2×2 矩阵 A 的四个元素与时间 t
- 2
工具计算判别式 Δ = tr² − 4det，自动选择三分支闭式解
- 3
读取 e^{At} 的四个元素
- 4
对照 60 项级数截断结果，确认闭式解精确性；再看稳定性判定
计算示例
例 1纯旋转（谐振子）
A = [[0,1],[−1,0]]，特征值 ±i（Δ = −4） e^{At} = cos t·I + sin t·A t = 1.5：cos 1.5 ≈ 0.0707，sin 1.5 ≈ 0.9975
例 2衰减系统
A = [[−1,0],[0,−2]]（对角，特征值 −1、−2） e^{At} = diag(e^{−t}, e^{−2t}) t = 1.5：e^{−1.5} ≈ 0.2231，e^{−3} ≈ 0.0498
注意事项
e^{A+B} ≠ e^{A}e^{B}（除非 AB = BA）：矩阵不可交换时指数律失效，这是矩阵指数与标量指数最大的区别
det(e^{At}) = e^{tr(A)·t}：迹决定体积膨胀率，刘维尔公式与此等价
Δ < 0 时轨迹是「对数螺线」：旋转频率 β、衰减率 α，欠阻尼 RLC 电路正是这个像
det A < 0 → 鞍点：一个特征方向衰减、另一个发散，相图上轨迹先靠近后甩开
数值上 2×2 用闭式最稳；高维或刚性系统用 Padé 近似 + 缩放平方（expm 的标准实现）
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-13
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引用本页
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Calcton. 矩阵指数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/matrix-exponential, 2026-09-13.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-13。
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