夫妇围圆数（Ménage 数）计算器

Q: 夫妇围圆数（Ménage 数）的操作步骤是什么？

首先，输入夫妇对数 n（2 到 300），点击「计算」。 然后，结果区给出 Uₙ（Touchard 公式值）与圆桌坐法 X(n) = (n−1)!·Uₙ。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是夫妇围圆数（Ménage 数）计算器？

Ménage 数 Uₙ（OEIS A000179）是夫妇围圆问题的基础计数：把妻子们的相对顺序固定后，丈夫插入间隙且不与妻子相邻的方式数。U₂ = 0（两对夫妇无法做到）、U₃ = 1、U₄ = 2、U₅ = 13、U₆ = 80、U₇ = 579。

完整圆桌坐法数（旋转视为同一种、镜像视为不同）为 X(n) = (n−1)!·Uₙ：3 对夫妇 2 种、4 对 12 种、5 对 312 种、6 对 9600 种。等价地，带编号座位的总排列数为 2·n!·Uₙ。

Uₙ = Σₖ₌₀ⁿ (−1)ᵏ·rₖ·(n−k)!，其中 rₖ = (2n/(2n−k))·C(2n−k, k)

rₖ 是 ménage 棋盘（2n 禁位的环状棋盘）的 k-车数，Touchard–Kaplansky 公式给出闭式。

如何使用夫妇围圆数（Ménage 数）计算器

1
输入夫妇对数 n（2 到 300），点击「计算」。
2
结果区给出 Uₙ（Touchard 公式值）与圆桌坐法 X(n) = (n−1)!·Uₙ。
3
对照前几项 U₂…U₈ 检查小参数结果。
4
n = 2 时 U₂ = 0：两对夫妇在交替入座下必有夫妻相邻。

计算示例

例 13 对夫妇

固定妻子顺序 W₁W₂W₃，丈夫只能按 H₃H₁H₂ 插入唯一间隙方案；加上妻子顺序 W₁W₃W₂ 的镜像方案，共 X(3) = 2!·1 = 2 种圆桌坐法。

例 25 对夫妇

U₅ = 13，X(5) = 4!·13 = 312 种坐法；若座位带编号（男女位交替共 10 个座），总排列为 2·5!·13 = 3120。

例 3车多项式视角

禁位构成环 C₂ₙ，其 k-匹配数 rₖ = 2n/(2n−k)·C(2n−k,k)：n = 5 时 r = 1, 10, 35, 50, 25, 2，代入容斥得 U₅ = 120 − 240 + 210 − 100 + 25 − 2 = 13。

注意事项

文献存在两种口径：Uₙ（固定妻子顺序的基础计数，本工具）与「坐法数」（(n−1)!·Uₙ 或 2·n!·Uₙ），引用 OEIS A000179 时注意 offset。
Uₙ 用带符号大数容斥求和，中间项正负交替且量级巨大，必须用精确整数运算防浮点误差。
n = 2 时 U₂ = 0 不是 bug：两对夫妇男女交替围圆，每位妻子两侧必是两位丈夫，自己的丈夫必然相邻。

常见问题

Uₙ = Σₖ₌₀ⁿ (−1)ᵏ·rₖ·(n−k)!，其中 rₖ = (2n/(2n−k))·C(2n−k, k)。 rₖ 是 ménage 棋盘（2n 禁位的环状棋盘）的 k-车数，Touchard–Kaplansky 公式给出闭式。在夫妇围圆数（Ménage 数）计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

文献存在两种口径：Uₙ（固定妻子顺序的基础计数，本工具）与「坐法数」（(n−1)!·Uₙ 或 2·n!·Uₙ），引用 OEIS A000179 时注意 offset；Uₙ 用带符号大数容斥求和，中间项正负交替且量级巨大，必须用精确整数运算防浮点误差。其余细节见页面注意事项一节。

3 对夫妇：固定妻子顺序 W₁W₂W₃，丈夫只能按 H₃H₁H₂ 插入唯一间隙方案；加上妻子顺序 W₁W₃W₂ 的镜像方案，共 X(3) = 2!·1 = 2 种圆桌坐法。

首先，输入夫妇对数 n（2 到 300），点击「计算」。然后，结果区给出 Uₙ（Touchard 公式值）与圆桌坐法 X(n) = (n−1)!·Uₙ。全程在页面内完成，结果即时更新。

Ménage 数 Uₙ（OEIS A000179）是夫妇围圆问题的基础计数：把妻子们的相对顺序固定后，丈夫插入间隙且不与妻子相邻的方式数。U₂ = 0（两对夫妇无法做到）、U₃ = 1、U₄ = 2、U₅ = 13、U₆ = 80、U₇ = 579。

两者同属相关计算链条：错位排列数解决的是与之衔接的另一层问题。完成夫妇围圆数（Ménage 数）计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到错位排列数在线计算器继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

5 对夫妇：U₅ = 13，X(5) = 4!·13 = 312 种坐法；若座位带编号（男女位交替共 10 个座），总排列为 2·5!·13 = 3120。

输入夫妇对数 n（2 到 300）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页夫妇围圆数（Ménage 数）计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

13 是固定妻子相对顺序后的丈夫安放方案数；圆桌上妻子的相对顺序有 (5−1)! = 24 种，故 24 × 13 = 312 种坐法（旋转同、镜像异）。

问题设定要求严格交替（每对夫妇间恰好隔一人），若无交替要求则是另一个问题（自由入座+禁夫妻相邻），计数不同。

法语「ménage」意为家庭/夫妇。Lucas 1891 年在《Récréations mathématiques》中提出，Touchard 1934 年给出公式，Kaplansky 1943 年严格证明。

n = 300 时 U₃₀₀ 共 614 位、X(300) 共 1226 位，Touchard 求和 301 项 BigInt 运算瞬间完成。

都是禁位排列：错位排列禁止 τ(i) = i（n 个禁位、线性棋盘），ménage 禁止 τ(m) ∈ {m, m+1}（2n 个禁位、环状棋盘），后者车数公式更复杂。

有：Uₙ ~ n!/e² · (1 − 1/(2n²) − …)，即夫妇围圆约束近似两次独立「禁止相邻」事件，概率 1/e² ≈ 13.5%。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-24

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-24。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

Ménage 数计算器（夫妇围圆入座问题）

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U₅ = 13 的「13」和坐法数 312 什么关系？

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能算多大？

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Uₙ 有渐近公式吗？

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