梅森数（2^p − 1）计算器
2^31 − 1 = 2147483647 是素数，而 2^11 − 1 = 2047 = 23×89 不是——梅森数是寻找巨型素数的高速公路，人类已知最大素数几乎全部长在这条路上。
什么是梅森数 2^p-1 计算器？
梅森数是什么：M(p) = 2^p − 1。指数 p 是合数时它必为合数；p 是素数时它「常常」是素数——但也常常不是：M(11) = 2047 = 23×89。是素数的梅森数叫梅森素数。
为什么用它找大素数：卢卡斯-莱默检验对 2^p − 1 有专用快速算法，比一般素性检验快得多；加二进制表示天然契合计算机，GIMPS 志愿者网格因此能筛到千万位级别。
已知多少个：截至 2024 年共 52 个：M(2)、M(3)、M(5)、M(7)、M(13)……最大的是 M(136279841)（2024 年发现，4100 万位）。是否无穷多个仍是开放问题。
和完全数什么关系：欧几里得-欧拉定理：2^(p−1)·(2^p − 1) 是偶完全数当且仅当 M(p) 是素数——每找到一个梅森素数就同步找到一个偶完全数。
M(p) = 2^p − 1；若 M(p) 为素数，则 p 必为素数（逆命题不成立）
2^(ab) − 1 = (2^a − 1)·(2^(a(b−1)) + … + 1)，指数合数时必分解
如何使用梅森数 2^p-1 计算器
- 1
输入指数 p（2–127）。
- 2
点击「计算」，得到 M(p) 的完整精确值。
- 3
p 为合数时直接判死并给出因式化理由。
- 4
p 为素数时工具试除到 √M 给出素性结论。
计算示例
例 1例：M(31) 与 M(11)
M(31) = 2147483647 是素数（欧拉 1772 年手算发现）；M(11) = 2047 = 23×89 是合数——「素指数不保证素梅森数」的最早反例（Pervusin 1883）。
注意事项
p 上限 127：M(127) = 170141183460469231731687303715884105727（39 位，Lucas 1876 年的手算纪录）。
指数合数时不必做任何检验：直接判合数。
试除法对 p 大于 47 就会非常慢——真实梅森素数搜索用卢卡斯-莱默检验。
M(p) 为素数时 p 一定是素数，这是必要非充分条件。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 梅森数 2^p-1 计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/mersenne-number, 2026-09-19.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-19。
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