梅森素数计算器

什么是梅森素数计算器？

梅森数 Mₚ = 2^p − 1 得名于 17 世纪法国修士 Marin Mersenne。它的二进制展开是 p 个 1（如 M₇ = 1111111₂ = 127）——「全 1 数」的素性是大素数搜索的核心战场。

必要条件：Mₚ 是素数则 p 必是素数（p = ab 时 2^a−1 整除 Mₚ）。反向不成立：p = 11 素数但 M₁₁ = 2047 = 23 × 89——素数指数只保证「候选资格」。

Lucas-Lehmer 判定（1930 年代完成）：对奇素数 p，Mₚ 是素数当且仅当 s_{p−2} ≡ 0 (mod Mₚ)，其中 s₀ = 4、sₖ = sₖ₋₁²−2。p−2 步模平方即可判定数千位大数的素性——这是梅森数垄断「最大已知素数」的技术原因。

p ≤ 120 内的梅森素数指数共 11 个：2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107。GIMPS 项目 2024 年发现第 52 个梅森素数 2^136279841 − 1（4100 万位）——最大已知素数纪录持续由梅森数保持。

如何使用梅森素数计算器

1. 1

   输入素数 p（2 到 120），工具先校验 p 的素性。

2. 2

   点击计算：p = 2 直接判 M₂ = 3；p ≥ 3 跑 Lucas-Lehmer（BigInt 模平方 p−2 步）。

3. 3

   结果面板输出 Mₚ 的十进制值、素性判定与合数时的部分因子。

4. 4

   对照 p ≤ 120 的 11 个已知指数，确认判定与文献一致。

计算示例

注意事项

• p = 2 是 Lucas-Lehmer 的盲区（序列定义要求 p ≥ 3）：M₂ = 3 直接特判——唯一偶梅森素数。

• 合数梅森数的因子有代数偏好：q 整除 Mₚ ⇔ q ≡ 1 (mod 2p)（q 素数）——例如 M₁₁ 的因子 23 = 2×11+1、89 = 8×11+1，全部 ≡ 1 (mod 22)。试除效率因此极高。

• Lucas-Lehmer 的每一步是 BigInt 模平方：p = 120 时 Mₚ ≈ 10³⁶，单步乘法 36 位×36 位——p ≤ 120 域内毫秒级完成；GIMPS 扩展到 1.36 亿位靠 FFT 乘法与分布式算力。

• 梅森素数与完全数的古老纽带：欧几里得-欧拉定理——偶完全数恰为 2^{p−1}(2^p−1)（Mₚ 素数）型。每发现一个梅森素数就同时发现一个偶完全数。

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科