莫比乌斯变换 w = (az+b)/(cz+d)
莫比乌斯变换是扩展复平面上最优雅的可逆映射：w = (az+b)/(cz+d)，ad ≠ bc。它把圆映成圆、处处保角、交比不变——三个标志点完全决定一个变换。本工具计算任意点的像、不动点方程与逆矩阵。
莫比乌斯变换 w = (az+b)/(cz+d)（ad ≠ bc）是复分析里最优雅的可逆映射：圆变圆、保共形、交比不变。输入系数与一个 z 点，查看像、标志点映射与不动点。
什么是莫比乌斯变换计算器？
平移、旋转、缩放、反演——四个基本动作的复合就是莫比乌斯变换。
它是把整个黎曼球面（含无穷远点）搬运到自身的最小刚体动作群：圆永远是圆（直线是过无穷远的圆）、角度永远不变、四点的交比永远不变。
狭义相对论的速度叠加、双曲几何的等距变换、电路的阻抗映射，全是它。
w = (az+b)/(cz+d)，ad − bc ≠ 0；不动点满足 cz² − (a−d)z − b = 0
det = ad − bc 归一化后，逆变换矩阵为 [[d,−b],[−c,a]]；c = 0 时为仿射变换，c ≠ 0 且两不动点时是共轭于缩放的旋转。
如何使用莫比乌斯变换计算器
- 1
输入系数 a、b、c、d（实数或复数，如 2+3i）与一个 z 点
- 2
确认 det = ad − bc ≠ 0（退化则不是变换）
- 3
读取 w = f(z)、三个标志点 0/1/∞ 的像
- 4
解不动点二次方程，理解变换的几何类型（椭圆/双曲/抛物/斜驶）
计算示例
例 1反演 w = 1/z
a = 0, b = 1, c = 1, d = 0，det = −1 ≠ 0 z = 2+3i → w = (2−3i)/13 ≈ 0.154 − 0.231i 不动点：z² = 1 → z = ±1
例 2凯莱变换
w = (z−i)/(z+i)：把上半平面映到单位圆 实轴上的点全部映到单位圆周（模长 1） i ↦ 0，−i ↦ ∞
注意事项
ad − bc = 0 时分子分母成比例，w 退化为常数——必须排除
三个不同点唯一确定一个莫比乌斯变换：要构造映射，直接解三点插值即可
不动点的判别式 (a−d)² + 4bc 决定几何类型：两实根双曲型、复共轭椭圆型、重根抛物型
交比 [z₁,z₂,z₃,z₄] 在变换下不变——这是「三点定变换」的代数证明，也是判四点共圆的最快方法
c = 0 时变换退化为仿射（az+b)/d：整体相似变换，不动点跑到无穷远
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-13
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GB/T 7714 格式
Calcton. 莫比乌斯变换计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/mobius-transform, 2026-09-13.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-13。
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