莫茨金数计算器
莫茨金数是卡特兰数的「宽松版」：在卡特兰的上下坡路径里允许走平路。它同样出现在圆周点的非交叉连线计数中——只是允许某些点不参与连线。
什么是莫茨金数计算器？
莫茨金数 M(n) 计数从 (0,0) 到 (n,0)、每步可上斜、下斜或水平且不越过 x 轴的路径数。
它也计数圆周 n 个点之间互不交叉的连线方案（连线可以缺席），是 RNA 二级结构计数的经典模型。
M(n) 的渐近增长约 3ⁿ/n^(3/2)，比卡特兰数的 4ⁿ 略缓。
M(n) = M(n−1) + Σ_{k=0}^{n−2} M(k)·M(n−2−k)，M(0) = M(1) = 1
和式 M(n) = Σ C(n, 2k)·Cat(k) 把莫茨金数写成二项系数与卡特兰数的卷积。
如何使用莫茨金数计算器
- 1
输入序号 n（0 到 500），工具用卷积递推精确计算。
- 2
查看 M(n) 与 M(n+1)，观察相邻增长倍数趋近 3。
- 3
对照卡特兰数 C(n)：M(n) 恰为 Σ C(n, 2k)·C(k)，即「选出偶数个下坡点后套用卡特兰」。
计算示例
例 1路径计数
M(4) = 9：长度 4、含水平步的不越线格路共 9 条；对应不允许水平步时卡特兰 C(4) = 14 条。
例 2非交叉连线
4 个圆周点的非交叉连线（含不连）共 M(4) = 9 种：0 条线 1 种、1 条线 6 种、2 条线 2 种。
注意事项
M(n) 的递推卷积是 O(n²)，n = 500 时约 12.5 万次 BigInt 乘加，页面毫秒级完成。
不要把「允许水平步」与「允许斜向下越线」混淆：越线仍然禁止。
与 Schröder 数的区别：后者允许大步（跨两格），增长率为 3 + 2√2 ≈ 5.83。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-22
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Calcton. 莫茨金数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/motzkin-number, 2026-09-22.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-22。
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