嵌套根式计算器
一个根号里套着一个根号，永远套下去——它收敛到哪？设极限为 x 解方程 x = √(a+x)，一行二次方程给出答案。a=1 时答案正是黄金比。
什么是嵌套根式计算器？
嵌套根式怎么求值：令极限为 x，则 x = √(a + x)，解 x² − x − a = 0 取正根 (1+√(1+4a))/2。a=1 时 x = (1+√5)/2 = φ 黄金比；a=2 时 x = 2；a=6 时 x = 3。
数值迭代怎么算：从 r₀ = √a 开始，反复 r ← √(a + r)。误差每层约平方衰减：20 层内双精度极限，比几何收敛更快。
为什么单调收敛有保证：映射 f(r) = √(a+r) 在正半轴是压缩映射（导数 < 1/2），Banach 不动点定理保证唯一极限。
拉马努金的著名例子：3 = √(1+2·√(1+3·√(1+4·√(1+…))))——系数也递增的广义嵌套根式，是他 1911 年投稿《数学年鉴》的开山谜题。
x = √(a + √(a + √(a + …))) = (1 + √(1+4a))/2
不动点方程 x² = a + x 的正根；每层误差平方衰减（超线性收敛）
如何使用嵌套根式计算器
- 1
输入常数 a（> 0）与层数 N（≤200）。
- 2
点击「计算」，得到 N 层嵌套值与极限公式值。
- 3
查看误差行：体会平方级衰减。
- 4
试 a=1（黄金比）、a=2（得 2）、a=6（得 3）三个整数彩蛋。
计算示例
例 1例：a=1，N=20 层
迭代收敛到 1.618033988749895，与黄金比 φ = (1+√5)/2 分毫不差；极限公式 (1+√(1+4))/2 = (1+√5)/2 验证一致。a=2 收敛到 2，a=6 收敛到 3。
注意事项
a 必须 > 0：a=0 时极限为 0（平凡），负数进入复数域。
层数 N > 40 后结果不再变化：双精度已饱和。
极限是方程正根；负根 (1−√(1+4a))/2 < 0 被迭代自动抛弃。
系数变化的广义嵌套根式（拉马努金型）不适用本工具的单一 a 模式。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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Calcton. 嵌套根式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/nested-radical, 2026-09-19.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-19。
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