p 级数收敛判定计算器
p 级数（p-Series）Σ 1/nᵖ 是级数收敛理论的标尺：p > 1 收敛，p ≤ 1 发散。本计算器给出判定、部分和与积分判据数值，并对照巴塞尔问题等经典结果。
什么是p 级数计算器？
p = 1 的调和级数是"发散名人"：项趋于 0 但和无穷大，前 10¹⁵ 项才刚过 35。
p = 2 的收敛值 π²/6 是巴塞尔问题的答案，欧拉 1734 年的解决轰动一时。
p 级数是比较判别法的参照系：任何级数的收敛性都可以与某个 p 级数比较。
Σ_{n=1}^∞ 1/nᵖ：p > 1 时收敛于 ζ(p)；p ≤ 1 时发散
积分判据：对照 ∫₁^∞ x^(−p) dx，它在 p > 1 时等于 1/(p−1)，与级数同敛散。
如何使用p 级数计算器
- 1
第一步：输入指数 p（可试 0.5、1、1.5、2、3 等）。
- 2
第二步：输入部分和项数 n（上限 200 万）。
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第三步：查看收敛判定、部分和、已知精确值与积分判据数值。
计算示例
例 1p = 2 巴塞尔
前 100 万项部分和约 1.644924，与精确值 π²/6 ≈ 1.644934 相差约 10⁻⁶——尾部误差约为 1/n。
例 2p = 1 调和级数
前 100 万项和约 14.39，且 ln(100 万) + 0.5772 ≈ 14.39——调和级数按对数速度增长，永远发散。
注意事项
部分和的尾部误差在 p > 1 时约为 1/((p−1)·n^{p−1})：p 越大收敛越快。
p ≤ 1 时部分和按 n^{1−p}/(1−p)（p<1）或 ln n（p=1）增长，计算器会提示这一点。
欧拉乘积公式把 ζ(p) 与素数分布联系起来，是黎曼ζ函数的入口。
比较判别法中，若通项不大于某收敛 p 级数的项，则原级数收敛；反向对发散同理。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. p 级数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/p-series, 2026-09-10.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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