佩尔数计算器
佩尔数是斐波那契的「√2 版本」：递推系数换成 2，增长率为 1 + √2 ≈ 2.414。它与佩尔方程 x² − 2y² = ±1 的最小解一一对应，是连分数理论最经典的副产品。
什么是佩尔数计算器？
佩尔数 P(n) 计数用 1×2 骨牌与 2×2 方砖铺 2×n 地板的方案数，也出现在半正则镶嵌的计数中。
(Q(n), P(n)) 恰是佩尔方程 x² − 2y² = (−1)ⁿ 的解序列，给出 √2 的最佳有理逼近。
P(n)/P(n−1) 收敛于银比 1 + √2 ≈ 2.41421，对应连分数 [2; 2, 2, 2, …]。
P(n) = 2P(n−1) + P(n−2)，P(0) = 0，P(1) = 1；伴随数 Q(n) = 2Q(n−1) + Q(n−2)，Q(0) = Q(1) = 1
恒等式 Q(n)² − 2P(n)² = (−1)ⁿ 对一切 n ≥ 0 成立。
如何使用佩尔数计算器
- 1
输入序号 n（0 到 3000），工具用 BigInt 精确递推 P(n) 与 Q(n)。
- 2
查看佩尔方程验证行：Q(n)² − 2P(n)² 恒等于 (−1)ⁿ。
- 3
读取 Q/P 比值，与 √2 ≈ 1.41421356 对照，观察连分数逼近的收敛速度。
计算示例
例 1佩尔方程的最小解
Q(3) = 7，P(3) = 5：49 − 50 = −1，即 7² − 2×5² = −1；(7, 5) 是 x² − 2y² = −1 的最小正整数解。
例 2√2 的逼近
P(n+1)/P(n) → 1 + √2；而 Q(n)/P(n) 交替上下逼近 √2：1/1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70……
注意事项
P(7) = 169 = 13²，是唯一的平方佩尔数（1962 年证明）。
n 超过 3000 时 P(n) 已有上千位，工具限制输入范围以保证响应速度。
佩尔方程 x² − 2y² = 1 的解是 (Q(n), P(n)) 的偶数下标子列。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-22
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Calcton. 佩尔数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/pell-number, 2026-09-22.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-22。
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