五边形数计算器

五边形数 Pₙ = n(3n−1)/2 是正五边形同心层的点数：P₁ = 1、P₂ = 5、P₃ = 12、P₄ = 22、P₅ = 35、P₆ = 51、P₇ = 70、P₈ = 92、P₉ = 117、P₁₀ = 145、P₁₀₀ = 14950。

相邻差是等差的：Pₙ − Pₙ₋₁ = 3n − 2（3, 7, 10, 13, 16, …）——二阶等差的标志，与三角形数 Tₙ = n(n+1)/2 的关系：Pₙ = Tₙ₋₁·3 + n（三层三角形架一支边）。

广义五边形数 g(k) = k(3k−1)/2 对 k = 1, −1, 2, −2, 3, −3, … 给出 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, …——负 k 让公式「拐弯」，产出另一条交错的半序列。

欧拉五边形数定理：Π_{k≥1}(1 − xᵏ) = Σ_m (−1)^m x^{g(m)}——广义五边形数是分拆母函数展开中**仅有的**非零指数，从而成为 p(n) 快速递推的下标骨架（见分拆数工具）。