主应力计算器

Q: 使用主应力计算器 - 平面应力状态分析有哪些注意事项？

符号约定先统一：拉正压负、τxy 按材料力学惯例（使单元体逆时针转的剪为正）。θp 的 atan2 给出含象限的主方向，直接用 atan(2τ/(σx−σy)) 会丢象限，σ1 可能落到 σ2 方向上；平面应力 ≠ 平面应变：薄板自由面 σz = 0 但 εz ≠ 0；厚件内部三向应力状态需三维主应力（再算 σ3 与 σ3² 项）——本工具适用薄壁、表面与二维简化场景。 其余细节见页面注意事项一节。

Q: 能举个例子说明主应力计算器 - 平面应力状态分析吗？

薄壁圆筒受内压：内压 p 的薄壁筒表面：环向 σx = pr/t、轴向 σy = pr/2t，τxy = 0。代入 p = 2 MPa、r = 0.5 m、t = 10 mm：σx = 100、σy = 50、σ1 = 100、σ2 = 50——主方向就是环向/轴向本身，环向焊缝更危险，与爆破试验沿轴向撕裂的观察一致。

Q: 用主应力计算器 - 平面应力状态分析计算需要输入哪些内容？

首先，第 1 步：输入危险点的 σx、σy（拉为正、压为负）与切应力 τxy（单元体面上的剪流方向定号，通常按逆时针为正约定）。 然后，第 2 步：读取 σ1、σ2、τmax 与主平面角 θp——θp 有两个相差 90° 的解，分别对应 σ1 与 σ2 方向。 全程在页面内完成，结果即时更新。

Q: 主应力计算器 - 平面应力状态分析和von Mises 等效应力计算器 - 平面应力强度校核有什么区别？

两者同属相关计算链条：von Mises 等效应力计算器 - 平面应力强度校核解决的是与之衔接的另一层问题。完成主应力计算器 - 平面应力状态分析计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到von Mises 等效应力计算器 - 平面应力强度校核继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

Q: 再举一个主应力计算器 - 平面应力状态分析的例子？

扭转+拉伸组合：圆轴受拉 σx = 80 MPa、受扭 τxy = 30 MPa、σy = 0：R = √(40²+30²) = 50，σ1 = 130、σ2 = −30 MPa（σavg = 40），τmax = 50。von Mises = √(σx²+3τ²) = √(6400+2700) ≈ 95.4 MPa < σ1−σ2 = 160（Tresca），延性判据下 Mises 更接近实际。

Q: 主应力计算器 - 平面应力状态分析支持输入哪些数值？

输入危险点的 σx、σy（拉为正、压为负）与切应力 τxy（。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

Q: 主应力计算器 - 平面应力状态分析的结果如何验证？

本页主应力计算器 - 平面应力状态分析计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

Q: 主应力计算器 - 平面应力状态分析计算精度如何？

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

什么是主应力计算器？

平面应力状态下，与 x 轴成 θ 角的斜截面上正应力 σ(θ) = (σx+σy)/2 + ((σx−σy)/2)cos2θ + τxy·sin2θ。对 θ 求极值得主平面方位 θp，其上切应力为零、正应力取极值 σ1 ≥ σ2——这就是主应力。

解析式：σ1,2 = (σx+σy)/2 ± √(((σx−σy)/2)² + τxy²)。根号项 R 同时也是最大切应力 τmax（发生在与主平面成 45° 的截面上）。莫尔圆把这三个数画成一个圆：圆心 (σavg, 0)、半径 R，一切方向的应力状态都在圆周上。

主应力是强度理论的语言：脆性材料用最大拉应力判据（σ1 ≤ σb），延性材料用 von Mises（√(σ1²−σ1σ2+σ2²) ≤ σs）或 Tresca（σ1−σ2 ≤ σs）。求出 σ1/σ2 之后，才谈得上安全系数。

σavg = (σx+σy)/2；R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)；σ1,2 = σavg ± R；τmax = R；θp = ½·atan2(2τxy, σx−σy)（主平面方位，两解相差 90°）

示例：σx = 100 MPa、σy = 40 MPa、τxy = 25 MPa：σavg = 70，R = √(30²+25²) = 39.05，σ1 = 109.05 MPa、σ2 = 30.95 MPa、τmax = 39.05 MPa、θp = ½·atan2(50,60) ≈ 19.9°。

如何使用主应力计算器

1
第 1 步：输入危险点的 σx、σy（拉为正、压为负）与切应力 τxy（单元体面上的剪流方向定号，通常按逆时针为正约定）。
2
第 2 步：读取 σ1、σ2、τmax 与主平面角 θp——θp 有两个相差 90° 的解，分别对应 σ1 与 σ2 方向。
3
第 3 步：代入强度理论：延性材料算 von Mises 等效应力并与屈服强度比；脆性材料看 σ1 是否超过抗拉强度。
4
第 4 步：与莫尔圆对照理解：σ1/σ2 是圆与 σ 轴的两个交点，τmax 是圆顶——任何方向的应力都能在圆上按 2θ 转角找到。

计算示例

例 1薄壁圆筒受内压

内压 p 的薄壁筒表面：环向 σx = pr/t、轴向 σy = pr/2t，τxy = 0。代入 p = 2 MPa、r = 0.5 m、t = 10 mm：σx = 100、σy = 50、σ1 = 100、σ2 = 50——主方向就是环向/轴向本身，环向焊缝更危险，与爆破试验沿轴向撕裂的观察一致。

例 2扭转+拉伸组合

圆轴受拉 σx = 80 MPa、受扭 τxy = 30 MPa、σy = 0：R = √(40²+30²) = 50，σ1 = 130、σ2 = −30 MPa（σavg = 40），τmax = 50。von Mises = √(σx²+3τ²) = √(6400+2700) ≈ 95.4 MPa < σ1−σ2 = 160（Tresca），延性判据下 Mises 更接近实际。

注意事项

符号约定先统一：拉正压负、τxy 按材料力学惯例（使单元体逆时针转的剪为正）。θp 的 atan2 给出含象限的主方向，直接用 atan(2τ/(σx−σy)) 会丢象限，σ1 可能落到 σ2 方向上。
平面应力 ≠ 平面应变：薄板自由面 σz = 0 但 εz ≠ 0；厚件内部三向应力状态需三维主应力（再算 σ3 与 σ3² 项）——本工具适用薄壁、表面与二维简化场景。
主应力不总在「看起来最大」的方向：纯扭 σx = σy = 0、τxy = τ 时，σ1,2 = ±τ、θp = 45°——低碳钢扭转沿 45° 螺旋面拉断（灰铸铁），而剪切屈服沿横截面。方向搞反，断口分析全错。
实验对照：应变花（rosette）测三个方向应变，换算成 σx/σy/τxy 后才进本工具；直接把应变当应力输入是常见事故，弹性模量与泊松比换算一步不能省。

常见问题

σavg = (σx+σy)/2；R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²)；σ1,2 = σavg ± R；τmax = R；θp = ½·atan2(2τxy, σx−σy)（主平面方位，两解相差 90°）。示例：σx = 100 MPa、σy = 40 MPa、τxy = 25 MPa：σavg = 70，R = √(30²+25²) = 39.05，σ1 = 109.05 MPa、σ2 = 30.95 MPa、τmax = 39.05 MPa、θp = ½·atan2(50,60) ≈ 19.9°。在主应力计算器 - 平面应力状态分析计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

符号约定先统一：拉正压负、τxy 按材料力学惯例（使单元体逆时针转的剪为正）。θp 的 atan2 给出含象限的主方向，直接用 atan(2τ/(σx−σy)) 会丢象限，σ1 可能落到 σ2 方向上；平面应力 ≠ 平面应变：薄板自由面 σz = 0 但 εz ≠ 0；厚件内部三向应力状态需三维主应力（再算 σ3 与 σ3² 项）——本工具适用薄壁、表面与二维简化场景。其余细节见页面注意事项一节。

薄壁圆筒受内压：内压 p 的薄壁筒表面：环向 σx = pr/t、轴向 σy = pr/2t，τxy = 0。代入 p = 2 MPa、r = 0.5 m、t = 10 mm：σx = 100、σy = 50、σ1 = 100、σ2 = 50——主方向就是环向/轴向本身，环向焊缝更危险，与爆破试验沿轴向撕裂的观察一致。

首先，第 1 步：输入危险点的 σx、σy（拉为正、压为负）与切应力 τxy（单元体面上的剪流方向定号，通常按逆时针为正约定）。然后，第 2 步：读取 σ1、σ2、τmax 与主平面角 θp——θp 有两个相差 90° 的解，分别对应 σ1 与 σ2 方向。全程在页面内完成，结果即时更新。

平面应力状态下，与 x 轴成 θ 角的斜截面上正应力 σ(θ) = (σx+σy)/2 + ((σx−σy)/2)cos2θ + τxy·sin2θ。对 θ 求极值得主平面方位 θp，其上切应力为零、正应力取极值 σ1 ≥ σ2——这就是主应力。

两者同属相关计算链条：von Mises 等效应力计算器 - 平面应力强度校核解决的是与之衔接的另一层问题。完成主应力计算器 - 平面应力状态分析计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到von Mises 等效应力计算器 - 平面应力强度校核继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

扭转+拉伸组合：圆轴受拉 σx = 80 MPa、受扭 τxy = 30 MPa、σy = 0：R = √(40²+30²) = 50，σ1 = 130、σ2 = −30 MPa（σavg = 40），τmax = 50。von Mises = √(σx²+3τ²) = √(6400+2700) ≈ 95.4 MPa < σ1−σ2 = 160（Tresca），延性判据下 Mises 更接近实际。

输入危险点的 σx、σy（拉为正、压为负）与切应力 τxy（。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页主应力计算器 - 平面应力状态分析计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

按定义 σ1 ≥ σ2（代数值）。若两者都为正，σ1 是最大拉应力；若一正一负，σ1 是拉、σ2 是压。脆性材料最关心 σ1（正的越大越危险），延性材料则关心 σ1−σ2（Tresca）或 von Mises 组合。

莫尔圆上，从主应力点（τ=0）沿圆周转 90°（对应物理 45°）到达圆顶 τ = R。物理直觉：斜面上正应力与切应力按 2θ 的角度旋转分配，45° 恰是「两边拉扯」最不均衡的位置——拉伸试样的滑移线、剪切破坏面都取这个方向。

平面应力下 σ_vm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²)。主应力是「坐标变换后的极值」，Mises 是「组合强度」——有限元云图显示的等效应力就是它，判定塑性是否启动。两个都算，工程报告才完整。

方向角是周期的：θp 与 θp±90° 是同一组主方向（一个对应 σ1 一个对应 σ2），θp+180° 完全相同。读图时把角度画在单元体上，箭头对准哪条线是 σ1 方向即可，负角表示从 x 轴顺时针转。

参考资料

凯文内容作者Calcton 工程编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-06-06

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 工程编辑组：行业设计手册常用公式，实际工程以现行规范为准。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-06-06。

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