里斯尔数计算器

什么是里斯尔数计算器？

里斯尔数是奇数 k，使 k·2ⁿ−1 对每一个 n ≥ 1 都是合数。最小已知的是 k = 509203（Riesel 1956），覆盖集 {3, 5, 7, 13, 17, 241}——按 n 的剩余类周期轮流整除 k·2ⁿ−1。

验证：n = 1 时 509203·2−1 = 1018405，尾数 5 被 5 整除；n 为偶数时 509203 ≡ 1 (mod 3)、2ⁿ ≡ 1 (mod 3)，1·1−1 = 0 被 3 整除——仅这两类就覆盖一半的 n，其余由 7、13、17、241 分工。

与谢尔宾斯基数是 ± 对偶：k·2ⁿ−1 vs k·2ⁿ+1。两者共享「覆盖集证明、数值扫描反驳」的方法论，但候选分布独立——78557 不是里斯尔数（k = 78557 在 n = 4 处产出素数 1257943？扫描即可验证）。

未决问题：k < 509203 中是否存在更小的里斯尔数？PrimeGrid 的 Riesel Base 2 Problem 正在逐个排查候选——每个候选需要找到 n 使 k·2ⁿ−1 为素数（可能达数百万位）。

如何使用里斯尔数计算器

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   输入奇数 k（1 到 999999）与 n 上限 N（1 到 256）。

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   工具逐点计算 k·2ⁿ−1 并做 Miller-Rabin 判定，列出找到的素数位置（前 5 个）。

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   全部合数时输出「疑似里斯尔数」提示。

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   预置锚点 k = 509203：n ≤ 256 内零素数（覆盖集保证永远为零）。

计算示例

注意事项

• 509203·2ⁿ−1 在 n 为偶数时被 3 整除、n ≡ 1 (mod 4) 时被 5 整除……六个素数各自负责一组剩余类，拼图覆盖 Z——这是理解覆盖集的最小实例。

• k = 78557 不是里斯尔数：78557·2ⁿ−1 在小 n 处即有素数（用工具扫 n ≤ 16 验证）——± 对偶不传递。

• 里斯尔素数（k·2ⁿ−1 为素数时）与 Thabit 素数 3·2ⁿ−1 的区别：前者系数自由、后者系数固定 3——Thabit 数是里斯尔家族的固定系数子族。

• 扫描反驳的极限：对候选 k 扫到 n = 10⁷ 仍无素数也只能说「疑似」；PrimeGrid 已反驳的候选动辄需要 900 万位素数（n ≈ 3×10⁷）。

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科