谢尔宾斯基数计算器

什么是谢尔宾斯基数计算器？

谢尔宾斯基数是奇数 k，使 k·2ⁿ+1 对每一个 n ≥ 1 都是合数。最小已知（且已证明）的是 k = 78557——它的秘密武器是「覆盖集」{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}：任何 n 都落在某个剩余类里，使对应素数整除 k·2ⁿ+1。

覆盖集如何工作：n 为偶数时 k·2ⁿ+1 被 3 整除（78557 ≡ 2 (mod 3)，2ⁿ ≡ 1，2·1+1 = 3 ≡ 0）；n 为奇数时按 n mod 4、mod 3 等周期被 5、7、13、19、37、73 轮流拦截——七个素数织成一张天罗地网。

验证 vs 证明：扫描 n ≤ 1000 找不到素数只能说明「疑似」；严格证明必须给出覆盖集。78557 的证明属于后者，因此它是定理而非猜想。

Seventeen or Bust 项目（2002 年启动）原本要解决「k < 78557 中还有哪些谢尔宾斯基数」：17 个候选 k 逐个被 n 扫出素数反驳，如今只剩 5 个未决：21181, 22699, 24737, 27653, 28433（PrimeGrid 接力搜索中）。

如何使用谢尔宾斯基数计算器

1. 1

   输入奇数 k（1 到 999999）与 n 上限 N（1 到 256）。

2. 2

   工具逐点计算 k·2ⁿ+1 并做 Miller-Rabin 判定，列出找到的素数位置（前 5 个）。

3. 3

   全部合数时输出「疑似谢尔宾斯基数」提示与覆盖集概念说明。

4. 4

   预置锚点 k = 78557：n ≤ 256 内仍然零素数（覆盖集保证永远为零）。

计算示例

注意事项

• 定义域取 n ≥ 1：n = 0 时 k·1+1 = k+1 是偶数（k 奇），自动合数无信息量。

• k 必须为奇数：偶 k 给出全偶数的 k·2ⁿ+1？不——偶 k 时 k·2ⁿ+1 是奇数，但 k=2ⁱ·奇的形式会把问题约化到奇部；定义约定 k 奇。

• 「78557 是最小谢尔宾斯基数」的完整表述：78557 是谢尔宾斯基数，且 78557 之下除 5 个未决候选外全部被反驳——严格来说「最小性」还差 5 个候选的排除。

• 扫描的 Miller-Rabin 对 k·2²⁵⁶+1 级（约 80 位）完全可靠；覆盖集证明不可替代——数值扫描只能反驳不能确立。

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科