施罗德数（Schröder number）
输入项数 n，工具输出大施罗德数 S(n)、小施罗德数 s(n) 与卡特兰对照。
什么是施罗德数路径计数计算器？
施罗德数统计「不越过对角线且允许平步」的格路径：1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806……由 Ernst Schröder 1870 年研究阶梯多边形剖分时引入。它恰好夹在两个著名数列中间——平步自由使它大于卡特兰数（C₁=2 → S₁=2 平步翻倍），又小于德兰诺伊中心数（S(n) = Σ C(n,k)·C_k 的加权特例）。
S(n) = ((6n−3)·S(n−1) − (n−2)·S(n−2)) / (n+1)，S(0) = 1，S(1) = 2
小施罗德数 s(n) = S(n)/2（n ≥ 1）；渐近 S(n) ≈ (3+2√2)ⁿ·n^(−3/2)。
如何使用施罗德数路径计数计算器
- 1
输入 n（0 ≤ n ≤ 25），点击计算。
- 2
输出 S(n)、小施罗德数序列与增长速率注解。
计算示例
例 1S(3) = 22
C₃ = 5 条纯上下路径之外，平步让总数膨胀到 22 条；小施罗德数 s(3) = 11。
例 2阶梯剖分
S(2) = 6：六种方式把阶梯形切成多边形——Schröder 原始问题的最小非平凡实例。
注意事项
三阶递推系数 (6n−3)/(n+1) 与 (n−2)/(n+1) 来自生成函数的代数方程，手推极易错号。
S(n) 恒为偶数（n ≥ 1），半数即小施罗德数——两种口径在文献中并存，引用时务必注明。
S(n) = Σ C(n,k)·C_k：把「平步数 k」分给二项选择，与莫茨金数的加权结构对偶。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-18
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Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。
引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 施罗德数路径计数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/schroder-number, 2026-09-18.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-18。
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