德兰诺伊数（Delannoy number）
输入 m 与 n，工具以三向递推填出 DP 表并给出 D(m,n)。
什么是德兰诺伊数计算器？
从 (0,0) 走到 (m,n)，每步可以右行、上行或斜行一步——多出的对角步让路径数远超帕斯卡三角：D(3,3) = 63，而纯直行只有 C(6,3) = 20 条。中心对角线上的 1,3,13,63,321,1683 称中心德兰诺伊数，底数 3+2√2 ≈ 5.828 的增长速度介于二项式与指数之间。
D(m,n) = D(m−1,n) + D(m−1,n−1) + D(m,n−1)，D(0,n) = D(m,0) = 1
闭式 D(m,n) = Σ C(m,k)·C(n,k)·2^k；中心数 D(n,n) ≈ (3+2√2)ⁿ。
如何使用德兰诺伊数计算器
- 1
输入 m、n（各 0 ≤ ≤ 20），点击计算。
- 2
输出 D(m,n)、完整 DP 表、中心数列与闭式对照。
计算示例
例 1D(2,2) = 13
右右+上上 6 条直路、一条对角 4 条、两条对角 3 条——合计 13 条。
例 2对角捷径
每走一条对角步同时消耗一右一上，D(m,n) 随对角步数 k 分层求和即得闭式。
注意事项
DP 三项之和含 dp[i−1][j−1]：对角步从左下角直接进入，这是与杨辉三角唯一的结构差异。
中心数有专属递推 n·D(n) = 3(2n−1)·D(n−1) − (n−2)·D(n−2)？工具直接用 DP 对角线，避免背错公式。
D(m,n) 也等于 (1+x+x²)^m 展开中 x^n 的系数和的组合解读，Delannoy 多项式由此而来。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-18
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Calcton. 德兰诺伊数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/delannoy-numbers, 2026-09-18.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-18。
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