贝尔数计算器（集合划分数）
8 个人拍照能分成几个不同的群？答案是贝尔数 B(8) = 4140。贝尔数数的是「所有可能的分组方式」——不限组数、不空组。贝尔三角形逐行递推，BigInt 精确。
贝尔数：n 个元素有多少种分组方式（集合划分数），贝尔三角形 BigInt 递推
什么是贝尔数计算器？
贝尔数 B(n) 计数「把 n 个不同元素分成若干非空小组」的全部方式：不限组数，组内无序，组间无区别。
3 个人的分组：各自一组、两两一组加一人一组、三人一组 → B(3) = 5 种。
贝尔三角形（Peirce 三角形）是最好记的算法：第一行 1；每行第一个数抄上一行最后一个；其余 = 左边 + 左上。每行第一个数就是 B(n)。
B(n) 也等于 n 元集合上等价关系的个数——「分组」与「等价关系」是一回事的两种说法。
B(n+1) = Σ C(n,k)·B(k)（k = 0..n）；贝尔三角形：每行首 = 上行末，其余 = 左 + 左上；生成函数 exp(eˣ − 1)
B(n) 等于第二类斯特林数之和：B(n) = Σ S(n,k)，k 从 1 到 n。
如何使用贝尔数计算器
- 1
输入 n（0 到 20）。
- 2
点击计算：贝尔三角形 BigInt 递推，输出 B(n) 与三角形前几行。
- 3
结果附组合意义解释与前几项数列对照。
计算示例
例 1求 B(8)
B(8) = 4140。三角形递推：第 8 行开头抄第 7 行末尾 4140。8 个人任意分组的方案数。
例 2B(3) = 5
{a}{b}{c}、{ab}{c}、{ac}{b}、{bc}{a}、{abc}——全部划分枚举。
例 3大数
B(20) = 51724158235372（约 5.2 × 10¹³）——15 人以上时分组方案数就爆炸了。
注意事项
贝尔数与卡特兰数都数「结构」，但贝尔数数「划分」（无序包裹），卡特兰数数「嵌套」（有序层级）——B(3) = 5 与 C(3) = 5 恰好相等纯属巧合。
B(n) 增长约 (n/log n)ⁿ——比指数快、比阶乘慢。
贝尔数的奇偶性有周期规律：B(n) 为奇数当且仅当 n 的二进制表示中每个 2 的幂次位（n ≡ 2^k − 1 模 2^k）满足特定条件（Bell 奇偶性定理，Lunnon 等）。
「Touchard 同余」：B(p+n) ≡ B(n+1) + B(n) (mod p) 对素数 p 成立——贝尔数在模运算下有隐藏对称。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-08
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Calcton. 贝尔数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bell-number, 2026-09-08.
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最后更新：2026-09-08。
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