第二类斯特林数计算器 S(n, k)
把 6 个人分成恰好 3 组有几种分法？答案是 S(6,3) = 90。第二类斯特林数精确计数「恰好 k 个非空小组」的划分，是贝尔数、幂和公式、有限差分背后的核心数。
第二类斯特林数 S(n,k)：n 个元素分进 k 个非空无区别小组的方法数
什么是第二类斯特林数计算器？
第二类斯特林数 S(n,k) 计数「n 个不同元素恰好分成 k 个非空、无区别小组」的方法数——小组内部无序，组间无标签。
递推的直观解读：第 n 个元素要么独占新组（S(n−1,k−1)），要么插入已有 k 组之一（k·S(n−1,k)）。
显式公式（容斥原理）：(1/k!)·Σ(−1)ʲC(k,j)(k−j)ⁿ——先允许空组的 kⁿ 种函数分配，再容斥扣掉空组。
核心地位：xⁿ = Σ S(n,k)·x⁽ᵏ⁾（下降幂展开）——它是普通幂与下降幂之间的桥梁，幂和公式与有限差分由此而来。
S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1)，S(0,0) = 1；显式：S(n,k) = (1/k!)·Σⱼ₌₀ᵏ (−1)ʲ·C(k,j)·(k−j)ⁿ
边界：S(n,1) = S(n,n) = 1，S(n,0) = 0（n 大于 0），S(n, n−1) = C(n,2)。
如何使用第二类斯特林数计算器
- 1
输入 n 与 k（n 上限 30，k 不大于 n）。
- 2
点击计算：BigInt 递推给出 S(n,k)，显式公式独立重算验证两者一致。
- 3
结果附递推解释、边界值与贝尔数关系。
计算示例
例 1S(6,3) = 90
6 人分 3 组（组间无区别）：90 种。递推验证：S(6,3) = 3·S(5,3) + S(5,2) = 3×25 + 15 = 90 ✓。
例 2S(4,2) = 7
{ab}{cd}、{ac}{bd}、{ad}{bc}、{a}{bcd}、{b}{acd}、{c}{abd}、{d}{abc}——7 种枚举。
例 3幂和公式来源
Σᵢ₌₁ⁿ i³ = C(n+1,2)² 的系数来自 S(3,k)：i³ = S(3,1)·i + S(3,2)·i(i−1) + S(3,3)·i(i−1)(i−2)——斯特林数把三次幂拆成下降幂再逐项求和。
注意事项
「无区别小组」是关键：{a}{b} 与 {b}{a} 算同一种——若小组有标签（第一组、第二组…），要乘 k!（那是「满射函数计数」）。
S(n,k) = 0 当 k 大于 n；显式公式此时自动给 0（容斥完美抵消）。
与贝尔数：B(n) = ΣS(n,k)；与第一类斯特林数（轮换计数）名字相同方向不同——第二类数划分，第一类数排列的轮换。
增长极快：S(30,15) 已是 11 位数；BigInt 内核精确无误差。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-08
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Calcton. 第二类斯特林数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/stirling-second-kind, 2026-09-08.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-08。
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