相似三角形计算器

两三角形相似当且仅当对应角相等、对应边成比例，比值 k 称相似比。判定方法有三：两角对应相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS~）、三边成比例（SSS~）。

相似三角形的一切线性尺寸（边、高、中线、周长）之比都是 k，而面积比是 k²——维度升一次，比值平方一次。这个"平方律"贯穿所有相似图形：体积比是 k³，是建筑模型、地图比例尺换算的基础。

相似三角形的本质是对应角相等、对应边成比例，比例系数 k 称为相似比。全等是 k=1 的特例，所以相似是更一般的形状关系——它只关心形状，不关心大小。两个三角形只要形状相同，无论相差多少倍，它们的一切角度、一切比例都完全一致。

判定相似有三条经典定理：AA（两角对应相等即可，因为三角形内角和恒定，第三角自动相等）、SAS 相似（两边成比例且夹角相等）、SSS 相似（三边对应成比例）。其中最常用的是 AA，这也是阳光影子测高、摄影三角测量等应用的理论基础。需要特别注意：SSA（两边及非夹角）不能判定相似，正如它不能判定全等一样。

相似比的核心推论是量纲缩放规律：周长按 k 缩放，面积按 k² 缩放。古希腊人早就利用这一点——泰勒斯用相似三角形测量金字塔高度，让金字塔的影子与一根已知木杆的影子构成相似三角形，日影比例即高度比例。今天的地图学、航空摄影测量、建筑放样，本质上都是同一原理。

直角三角形中有一个高频结论——射影定理：从直角顶点向斜边作高，把原三角形分成两个小三角形，这两个小三角形彼此相似，且都与原三角形相似。由此得到 leg² = 斜边 × 相邻投影、高² = 两投影之积三组关系，是几何题与工程放样中的常客。

相似概念还延伸到位似变换：两个相似图形如果对应点连线都通过同一点（位似中心），它们就是位似关系，相当于从中心做一次缩放投影。幻灯机、投影仪、相机成像都是位似的物理实现。