Sprague-Grundy 数与 Nim 定理
每个公平组合游戏都等价于一堆 Nim——SG 定理把所有博弈装进一个数字。
什么是Sprague-Grundy 数计算器？
Sprague-Grundy 理论把每个公平组合游戏（无平局、双方信息相同、移动规则相同）映射为一个非负整数——Grundy 值，定义为 mex（最小排除值）{后继局面的 Grundy 值}。整场博弈的值是各独立子博弈值的 XOR。值非零（N 局）先手必胜，值为零（P 局）后手必胜。对 Nim 游戏本身，每堆的 Grundy 值就是堆大小，因此总判据是各堆 XOR。
G(堆1) ⊕ G(堆2) ⊕ ... = 0 ⟺ 先手必败
Nim 数 = 各堆大小的按位异或；Sprague 1936 / Grundy 1939。
如何使用Sprague-Grundy 数计算器
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输入各堆石子数（逗号分隔），工具计算 XOR、判定 N/P 局，并在 N 局时列出把 XOR 归零的所有第一步。
计算示例
例 13,4,5
3⊕4⊕5 = 2 ≠ 0：先手必胜，如把 5 取成 1。
例 23,4,7
3⊕4⊕7 = 0：P 局，先手必败。
注意事项
mex{0,1,3} = 2：Grundy 值未必等于局面大小。
非 Nim 规则的堆（如每次只能取 1-3 个）Grundy 值呈周期 pattern。
普通 Nim 是 SG 理论的最简实例。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-16
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. Sprague-Grundy 数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/sprague-grundy, 2026-09-16.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-16。
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