第二类斯特林数计算器
把 n 个人分成 k 组干活有多少种分法——第二类斯特林数 S(n,k) 是集合的「分箱计数」，贝尔数是它对 k 的求和。
什么是第二类斯特林数计算器？
第二类斯特林数 S(n,k)：把 n 元集划分为 k 个非空、无标号子集的方案数。S(5,2) = 15、S(6,3) = 90、S(10,5) = 42525、S(15,7) = 408741333。
递推的语义拆解：第 n 个元素要么自成一箱（S(n−1,k−1)），要么加入已有 k 箱之一（k·S(n−1,k)）——两个来源不重不漏。
显式公式（包含排斥）：S(n,k) = (1/k!) Σⱼ (−1)ʲ C(k,j)(k−j)ⁿ——本质是「满射函数计数 ÷ k!」（把无标号箱标号后除掉排列对称）。
与贝尔数的关系：Bₙ = Σₖ S(n,k)（全部划分方式）。与第一类的区别：第一类 s(n,k) 计**循环置换**结构（排列的轮换分解），符号可正可负——同姓不同人。
S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1)，边界 S(n,1) = S(n,n) = 1
实现：二维 BigInt DP（O(nk)），n ≤ 300
如何使用第二类斯特林数计算器
- 1
输入 n（0 到 300）与 k（0 到 n），工具 DP 精确计算 S(n,k)。
- 2
输出值、位数与递推展开（S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1) 的数值验证）。
- 3
对照锚点：S(5,2) = 15、S(6,3) = 90、S(10,5) = 42525。
计算示例
例 1示例：S(4,2) = 7
把 {a,b,c,d} 分成两箱：{a}{bcd}、{b}{acd}、{c}{abd}、{d}{abc}、{ab}{cd}、{ac}{bd}、{ad}{bc}——共 7 种。递推验证：S(4,2) = 2·S(3,2) + S(3,1) = 2×3 + 1 = 7 ✓。
注意事项
边界三件套：S(n,1) = 1（一箱全装）、S(n,n) = 1（每元素一箱）、S(n,0) = [n = 0]（0 元素 0 箱是 1 种方式，正整数分成 0 箱不可能）。
k > n 时 S = 0（箱不能空）；S(n,2) = 2^(n−1) − 1（非空真子集对，除以对称）——大 k 与小 k 有各自的封闭捷径。
「无标号」是除以 k! 的原因：满射计数 k!·S(n,k)——这也是 S(n,k) 为整数但满射数巨大的原因。
S(25, 13) 已是 24 位数——n ≤ 300 的 DP 需要 BigInt（S(300,150) 约 600 位）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-22
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Calcton. 第二类斯特林数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/stirling-number, 2026-09-22.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-22。
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