超级过剩数计算器
5040 = 7! 的因数和比率 σ(n)/n 高达 4.57——它前面没有任何数更高。这些「富得流油」的纪录保持者与黎曼猜想死死绑在一起。
什么是超级过剩数计算器？
超级过剩数是什么：σ(m)/m（因数和与自身之比，即「富庶度」）刷新历史纪录的数。σ(360)/360 = 1170/360 = 3.25，前面没有任何数达到——360 入榜。
它与黎曼猜想什么关系：Robin 1984 年证明：黎曼猜想等价于「n > 5040 时恒有 σ(n)/n < e^γ·ln ln n」。5040 恰是第 16 个超级过剩数——这条序列就是 RH 的数值试验场。
和高合成数什么关系：Alaoglu–Erdős 1944 年证明两者前 44948 个成员完全一致（都由「指数单调递减」的数构成），之后才分道扬镳——高合成数比因数个数，超级过剩数比因数总和。
有什么成员彩蛋：5040 = 7! 与 55440 等成员同时是高合成数；Colossally abundant number（更苛刻的子序列）则直接对应 RH 最优界。
n 是超级过剩数 ⟺ ∀m < n：σ(m)/m < σ(n)/n（σ 为因数和函数）
记录链：1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 5040……
如何使用超级过剩数计算器
- 1
输入 n（1–10⁶）。
- 2
点击「计算」，得到 σ(n)/n 比率。
- 3
工具逐个扫描 m < n 验证是否刷新纪录。
- 4
查看记录链与 5040 在 Robin 定理中的特殊地位。
计算示例
例 1例：360 与 361
σ(360)/360 = 1170/360 = 3.25：1 到 359 中最高的比率只有 240 的 3.20 → 360 是超级过剩数。361 = 19² 的比率 1.055 一落千丈——平方数在富庶榜上毫无竞争力。
注意事项
σ(n) 用素因子分解公式 σ = ∏(p^(k+1)−1)/(p−1) 计算，比逐因数枚举快。
比率比较用浮点：极端接近的候选（如 5040 附近）可能受精度影响，本工具域内安全。
所有超级过剩数（除 1）都是偶数且为高合成数的前段镜像。
n ≤ 10⁶ 内共有 14 个成员：1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840——注意 5040 已超域。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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Calcton. 超级过剩数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/superabundant-number, 2026-09-19.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-19。
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