裂项级数（望远镜级数）计算器
1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)，求和时中间项全部抵消，只剩头尾——像望远镜一样一节套一节收起来。N=4 时和恰为 0.8。
什么是裂项级数计算器？
裂项（望远镜）级数是什么：通项能拆成相邻差 f(k) − f(k+1) 的级数：求和时所有中间项成对抵消，只剩 f(1) − f(N+1)。经典例 Σ1/(k(k+1)) = 1 − 1/(N+1) → 1。
闭式怎么验证：两条路对照：逐项累加 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 0.8（N=4）；闭式 1 − 1/5 = 0.8——工具同时算两条路并展示差为零。
部分分式怎么拆：1/(k(k+1)) = A/k + B/(k+1)，通分比对系数得 A=1、B=−1。部分分式分解是裂项的标准前置工序。
除了这个还有哪些名例：Σ1/(k²−1) = 3/4（k 从 2 起）、Σ1/((2k−1)(2k+1)) = 1/2、以及 ln 2 = Σ(−1)^(k+1)/k 的裂项变体。
Σ_{k=1}^{N} 1/(k(k+1)) = Σ (1/k − 1/(k+1)) = 1 − 1/(N+1) → 1
极限为 1；同类 Σ1/(k²−1) = 3/4，Σ1/((2k−1)(2k+1)) = 1/2
如何使用裂项级数计算器
- 1
输入项数 N（1–10⁶）。
- 2
点击「计算」，同时得到逐项累加值与裂项闭式值。
- 3
对比两法之差：应在浮点噪声以内。
- 4
调大 N 看和逼近极限 1（N=9 时已达 0.9）。
计算示例
例 1例：N=4
逐项：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 = 0.8；裂项闭式 1 − 1/5 = 0.8。展开抵消：(1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+(1/4−1/5) = 1 − 1/5，中间 1/2、1/3、1/4 全部成对消失。
注意事项
逐项累加在大 N 时有浮点累积误差，闭式是精确值——差值可作数值健康检查。
裂项要求通项能精确拆成相邻差：分母是相邻整数乘积是最常见信号。
极限 1 与调和级数发散形成对比：分母多一个因子，收敛与否天壤之别。
telescoping 也用于证明不等式：Σ1/k² < 1 + Σ1/(k(k−1)) = 2 的经典放缩。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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GB/T 7714 格式
Calcton. 裂项级数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/telescoping-series, 2026-09-19.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-19。
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