幂塔 a↑↑n mod m
输入底数 a、塔高 n 与模数 m，工具给出 a↑↑n mod m 与可精确时的真值信息。
什么是迭代幂次计算器？
迭代幂次（tetration）是幂运算的幂运算：a↑↑4 = a^(a^(a^a))，增长快过任何初等函数——3↑↑3 = 3²⁷ ≈ 7.6×10¹²，3↑↑4 的位数已无法用宇宙原子计数。它是 hyperoperation 序列的第 4 级（加法、乘法、幂、幂塔）。模运算版本靠欧拉定理逐层缩小指数，是竞赛与密码学的经典技巧。
a↑↑1 = a；a↑↑n = a^(a↑↑(n−1))
模运算用指数提升 a^k ≡ a^((k mod φ(m)) + φ(m)) (mod m)（k ≥ log₂m），沿 φ 链逐层递归。
如何使用迭代幂次计算器
- 1
输入 a（2 ≤ a ≤ 20）、塔高 n（1 ≤ n ≤ 8）与模数 m（≤10⁹），点击计算。
- 2
工具输出模余数；
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a = 2 且 n ≤ 5 或 n ≤ 2 等可精确情形直接给出真值（位数）。
计算示例
例 1小塔真值
2↑↑3 = 16（mod 10 = 6）；2↑↑4 = 65536（mod 1000 = 536）；2↑↑5 有 19729 位十进制数字。
例 2大塔模算
3↑↑4 mod 1000 = 387，与直接计算 3^(3^27) mod 1000 完全一致——φ 链还原正确。
注意事项
指数提升公式要求真实指数 ≥ log₂(m)；本工具在指数可能过小的情形自动退回精确计算。
可精确范围：n ≤ 2 任意 a；n = 3 且 a ≤ 7（指数 ≤ 823543）；a = 2 且 n ≤ 5（2↑↑5 约 19729 位）。
φ 链深约 log(m) 层即归 1，递归深度极浅；但注意 gcd(a,m) ≠ 1 时必须用「+φ」提升而非裸取模。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-17
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 迭代幂次计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/tetration, 2026-09-17.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-17。
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