三角形数计算器
三角形数是可以排成正三角形的点数：1、3、6、10、15……第 n 个三角形数等于 1+2+…+n。传说高斯小学时就用首尾配对的方法瞬间算出 1 加到 100 等于 5050，那个 5050 正是第 100 个三角形数。本工具支持正反双向：给 n 求值，或给值判断是否为三角形数并反推序号。
什么是三角形数计算器？
三角形数 Tₙ = 1 + 2 + … + n，几何上是用点排出的正三角形。
通项公式 Tₙ = n(n+1)/2，来自首尾配对求和。
相邻两个三角形数之和是完全平方数：Tₙ + Tₙ₋₁ = n²。
Tₙ = n(n+1)/2；反推 n = (√(8T+1) − 1) / 2（仅当 8T+1 为完全平方数时 T 是三角形数）
反推公式来自把 Tₙ = n(n+1)/2 视为 n 的二次方程求根。判定 8T+1 是否为完全平方数即可确认 T 是否为三角形数。
如何使用三角形数计算器
- 1
选择求第 n 项或反推序号。
- 2
输入 n（如 10）或数值（如 5050）。
- 3
读取 Tₙ 结果或序号判定。
- 4
查看前若干项列表观察增长规律。
计算示例
例 1求第 10 个三角形数
T₁₀ = 10 × 11 / 2 = 55。即 1+2+…+10 = 55，10 个点可以排成底边 4 行的三角形点阵。
例 25050 是第几个三角形数？
8 × 5050 + 1 = 40401 = 201²，n = (201 − 1)/2 = 100，正是高斯求和 1 加到 100 的结果。
注意事项
三角形数只是形数家族的一员，同族还有平方数、四面体数（三角形数的前 n 项和）。
任何完全数都等于其真因子和，且前几个完全数 6、28、496 恰好也是三角形数。
Tₙ = C(n+1, 2)，即从 n+1 个元素中取 2 个的组合数，与杨辉三角第 n+1 行第 2 个数一致。
序号反推对超大数值同样有效，先算 8T+1 再开方取整验证即可，无需逐项累加。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-06-05
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引用本页
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Calcton. 三角形数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/triangular-numbers, 2026-06-05.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-06-05。
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