乌拉姆螺旋计算器

原理

乌拉姆螺旋：把 1 起始的自然数按方形螺旋排进网格、标出素数，素数会惊人地聚在对角线上——乌拉姆 1963 年在无聊的会议上涂画发现。对角线对应二次多项式（如 4k²+2k+1 型）的取值，而这类多项式产素数的能力异常突出。

本工具生成 n×n 螺旋，统计两条主对角线（去重后 2n−1 格）上的素数占比，与全体占比对照：n = 21 时对角线 43.902439024390% 对全体 19.274376417234%，富集约 2.3 倍。

使用步骤

① 输入奇数边长 n；② 得到对角线与全体素数占比对照；③ 增大 n 观察富集比趋于稳定（对角线多项式的素数密度优势）。

计算示例

n = 5：对角线 9 格（1、3、5、7、9、13、17、21、25）中素数 5 个（55.6%），全体 25 格中素数 9 个（36%）；n = 21（441 格）：素数 85 个，对角线 41 格中 18 个素数。

注意事项

欧拉多项式 k² + k + 41 在 k = 0…39 连续 40 个素数是这一现象的极端展示（k = 40 时 41² 合数）。对角线富集源于二次多项式判别式的类数性质，尚无完全解释。

常见问题

Q：为什么方形螺旋而不是圆形？A：方形螺旋的对角线恰好对应整系数二次多项式，素数分布的偏斜因此可读；其他排布（如螺旋三角形）呈现不同但不那么显著的图案。

Q：更大 n 会怎样？A：n = 201（40401 格）对角线富集约 2 倍上下波动；素数定理保证全体占比按 1/ln(n²) 衰减，而对角线多项式的巴克达尔-哈尔伯兰定理保证其占比乘以 ln 的极限存在。