约数和函数 σ(n) 计算器

原理

约数和函数 σ(n) 求全部正约数之和，是乘性数论三大函数之一（与 φ、d 并列）。素因数分解 n = ∏p^e 后 σ(n) = ∏(1 + p + … + p^e) = ∏(p^(e+1) − 1)/(p − 1)。枚举只需到 √n：约数成对 (i, n/i)，本工具即用此法。

丰度分类：σ(n) = 2n 为完全数（6、28、496、8128——欧几里得-欧拉定理保证偶完全数形如 2^(p−1)(2^p − 1)，p 为梅森素数指数）；σ > 2n 为盈数（12 最小）；σ < 2n 为亏数（素数幂与半素数居多）。

使用步骤

① 输入正整数 n；② 得到 σ(n)、丰度分类、丰度指数与约数清单；③ σ(n)/n 是判断「过度丰富」的标准尺度。

计算示例

σ(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28（盈）；σ(100) = 217 = 217（100 = 2²5²，σ = 7×31）；σ(496) = 992 = 2×496（完全数）；σ(8128) = 16256（第四个完全数）；σ(1000000) = 2480437。

注意事项

σ 与 φ 的关系由 σ(n) ≤ (n/φ(n))² 等不等式联系；盈数的倍数仍是盈数、亏数的约数仍是亏数，但反之不成立——「奇完全数是否存在」是与孪生素数齐名的未解问题（已排除到 10^1500 以上）。

常见问题

Q：σ(n) 和亲和数什么关系？A：亲和数对 (a, b) 满足 σ(a) − a = b 且 σ(b) − b = a（220 与 284 最经典），即「真约数和」互换——本工具与 amicable-numbers 工具共享 σ 内核。

Q：为什么枚举到 √n 就够？A：若 i 整除 n，则 n/i 也整除 n，约数成对出现；仅完全平方数会在 √n 处成单（计入一次）。