范德科尔普特序列计算器（低差异序列）
0.5, 0.25, 0.75, 0.125, 0.625, 0.375, 0.875……把下标的二进制位倒过来读——这个 1935 年的小技巧，是准蒙特卡洛方法的祖师爷。
什么是范德科尔普特序列计算器？
范德科尔普特序列是什么：基 b（通常 2）的低差异序列：第 i 项 = 把 i 的 b 进制位序反转、放到 b^m 分母下。2 基版：1→1/2、2→1/4、3→3/4、4→1/8、5→5/8——每一轮都在填上一轮留下的最大缝隙。
「低差异」好在哪：前 N 项与均匀分布的偏差 D = O(log N/N)，比独立随机的 O(N^{−1/2}) 好一个量级——积分估计误差随之骤降。
和随机数什么关系：它是确定性的：不随机但「比随机更均匀」。准蒙特卡洛积分用它们替代伪随机点，金融衍生品定价中收敛速度提升数十倍是常态。
怎么推广：多基并联就是 Halton 序列（维度 d 用素数 b = 2,3,5,7…各管一维）；再叠加随机化得到 scrambled 版本——图形学渲染器的标准采样器。
φ₂(i)：把 i 的二进制位反转后放到 2^m 分母下（m = 位长）
前 2^m − 1 项均匀铺满 {k/2^m} 全部格点；差异度 D = O(log N / N)
如何使用范德科尔普特序列计算器
- 1
输入 N（1–256）。
- 2
点击「计算」，生成前 N 项小数。
- 3
查看前 8 项的精确分数形式。
- 4
理解生成规则：二进制反转 + 2^m 分母。
计算示例
例 1例：前 8 项
1→0.5、2→0.25、3→0.75、4→0.125、5→0.625、6→0.375、7→0.875、8→0.0625。看前 8 项如何先中分、再四分、再八分地填缝——这就是「位反转」的空间直觉。
注意事项
i 的位长 m 决定分母 2^m：i = 2^k 时分母跳到 2^{k+1}，出现最小值 1/2^{k+1}。
前 2^m − 1 项恰是 {1/2^m, …, (2^m−1)/2^m} 的某种排列——均匀性是精确的，不是渐近的。
高维直接用 2 基会强相关：多维度请换不同素数基（Halton 思路）。
工具输出保留 4 位小数并去尾零，精确分数另列。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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Calcton. 范德科尔普特序列计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/van-der-corput, 2026-09-20.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-20。
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