平行六面体体积计算器
输入从同一顶点出发的三条棱向量，计算器用混合积 a·(b×c) 的绝对值给出平行六面体体积，展示 3×3 行列式的逐步展开，并在体积为零时判定三向量共面。
向量 a
向量 b
向量 c
什么是平行六面体体积计算器？
平行六面体是由三个向量 a、b、c 撑起的“斜盒子”，体积等于混合积的绝对值 V = |a·(b×c)|，也等于以三个向量为行的 3×3 行列式的绝对值。
混合积的几何意义：b×c 的模是底面平行四边形面积，a 与它的点积乘上夹角余弦正好是“底面积 × 高”。
V = 0 说明三个向量共面（高为零），无法撑起三维体积——这也是判断三向量线性相关的几何方法。
V = |a·(b×c)| = |det [a; b; c]|
行列式按第一行展开：det = aₓ(b_y c_z − b_z c_y) − a_y(bₓ c_z − b_z cₓ) + a_z(bₓ c_y − b_y cₓ)，符号由行列式给出，体积取绝对值。
如何使用平行六面体体积计算器
- 1
输入三条棱向量 a、b、c 的分量（各 3 个数）。
- 2
计算器输出混合积数值与体积，并展示行列式展开的中间项。
- 3
结果为 0 时提示三向量共面；附标量三重积的符号说明左右手系。
计算示例
例 1例：长方体
a = (1,0,0)，b = (0,2,0)，c = (0,0,3)：行列式 = 1×(2×3) = 6，体积 6，与长方体公式 1×2×3 一致。
例 2例：斜盒子
a = (1,1,0)，b = (0,1,1)，c = (1,0,1)：det = 1×(1×1−1×0) − 1×(0×1−1×1) + 0 = 1 + 1 = 2，体积 2。
注意事项
交换任意两条棱的顺序，混合积变号但体积不变（绝对值抵消符号）。
混合积 > 0 说明 (a, b, c) 构成右手系，< 0 为左手系——物理里判断坐标架手性常用。
四棱锥体积是它的六分之一：V_锥 = |a·(b×c)|/6，同一组向量可以顺带算出锥体体积。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-04
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引用本页
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Calcton. 平行六面体体积计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/volume-of-a-parallelepiped, 2026-09-04.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-04。
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