AR(1) 自回归计算器（AR(1) Model Calculator）
AR(1) 是最简单的自回归模型：下一期等于常数项加上上一期乘一个系数，再加随机扰动。输入序列，工具用 OLS 对 (xₜ₋₁, xₜ) 配对回归，一次给出 φ、c、长期均值 μ 和下一步预测。
原理：AR(1) 模型设 xₜ = c + φ·xₜ₋₁ + εₜ，用最小二乘对配对 (xₜ₋₁, xₜ) 回归估计 φ 与 c。|φ| 小于 1 时序列平稳并向均值 c/(1−φ) 回归；φ 接近 1 是单位根迹象，应差分。预测按 x̂ₜ₊₁ = c + φ·xₜ 一步外推。
步骤：① 输入按时间排序的序列；② 点击拟合；③ 检查 |φ| 是否小于 1 判断平稳性；④ 读出 R² 与下一期预测，φ 显著非零说明一阶自相关可利用。
示例：x = (10, 12, 11, 14, 15, 14, 17, 19, 18, 21) 时 φ = 0.899147727273、c = 2.678977272727、均值回归水平 = 26.56338028169、下一期预测 = 21.561079545455；φ 接近 1 提示强持续性，预测以延续近期水平为主。
注意事项：OLS 估计在误差正态下才最优，且要求 |φ| 小于 1；φ 接近 1 时参数估计有偏，建议先做单位根检验或差分；一步预测区间宽度随 φ 增大而扩大，多步预测收敛到均值水平；序列短（n 小于 15）时标准误偏大，预测仅作参考。
相关：偏自相关 PACF 计算器验证一阶截尾再拟合 AR(1)；Ljung-Box 检验计算器检查残差是否仍有自相关；一阶差分计算器处理 φ 接近 1 的非平稳序列。
什么是AR(1) 自回归计算器？
AR(1) 把序列写成「对上一期的记忆」：φ 越大记忆越久——φ = 0.9 时一次冲击十期后仍剩 35% 的痕迹，φ = 0.3 时三期就基本忘光。
长期均值 μ = c/(1−φ) 是序列的引力中心：|φ| < 1 时无论从哪出发都会围绕 μ 波动；φ 越接近 1 回复越慢。
拟合用 OLS：把 (x₁,x₂), (x₂,x₃), …, (xₙ₋₁,xₙ) 当成 n−1 对回归数据，φ = Sxy/Sxx、c = ȳ − φ·x̄（这里 x̄ 上一期均值、ȳ 当期均值）。
xₜ = c + φ·xₜ₋₁ + εₜ，μ = c/(1−φ)，x̂ₙ₊₁ = c + φ·xₙ
φ 是持续性参数：|φ| < 1 时过程平稳，冲击以速度 φ 几何衰减；φ → 1 时接近随机游走，均值失去意义。
如何使用AR(1) 自回归计算器
- 1
按时间顺序粘贴序列，至少 5 个观测（有效配对 n−1 组）。
- 2
点击拟合，读出 φ、截距 c、长期均值 μ 与残差标准差。
- 3
查看一步预测 x̂ₙ₊₁ = c + φ·xₙ：它是条件均值预测，实际值会围绕它随机波动。
计算示例
例 1拟合输出
x = (10, 12, 11, 14, 15, 14, 17, 19, 18, 21)：φ = 0.899147727273、c = 2.678977272727，持续性很强、接近单位根，需警惕伪平稳。
例 2长期均值
同一序列 μ = c/(1−φ) = 26.56338028169——注意它比现有数据均值高不少：φ 接近 1 时 μ 对 c 的估计误差被 (1−φ) 放大，解释要谨慎。
例 3一步预测
最后观测 xₙ = 21，预测 x̂ₙ₊₁ = 2.678977272727 + 0.899147727273 × 21 = 21.561079545455，与均值回复路径一致。
注意事项
|φ| ≥ 1 时模型非平稳：μ 与置信区间都没有常规解释，应先差分再建模。
OLS 估计在 AR(1) 下有偏（尤其 φ 接近 1 的小样本），效应是把 φ 往 0 方向压；结论定性可用，精确推断需更大样本。
残差应近似白噪声：拟合后把残差丢进 Ljung-Box 检验，p 值大才说明 AR(1) 够用。
序列含强趋势或季节性时 AR(1) 会高估持续性，先差分或去季节再拟合。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-07
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. AR(1) 自回归计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/ar1-model, 2026-10-07.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-07。
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