贝尔三角形计算器
贝尔三角形（Aitken 阵 / Pierce 三角）用两条极简规则生成贝尔数：每行行首抄上一行行尾，行内后续项等于左边一项加左上方一项。行首一列读下来正是 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203……
什么是贝尔三角形计算器？
贝尔数 B(n) 计数把 n 元集合拆成若干非空不相交子集的方式数：B(3) = 5、B(4) = 15。
三角形前几行：1；1, 2；2, 3, 5；5, 7, 10, 15；15, 20, 27, 37, 52。
贝尔数满足递推 B(n+1) = Σ C(n, k)·B(k)，与三角形构造交叉印证。
首行 a(0, 0) = 1；a(n, 0) = a(n−1, n−1)（行首 = 上行行尾）；a(n, k) = a(n, k−1) + a(n−1, k−1)
行首一列即贝尔数 B(n)，恰为 n 元集合的划分方案数。
如何使用贝尔三角形计算器
- 1
输入行号 n（0 到 30），工具用 BigInt 逐行构造到第 n 行。
- 2
查看第 n 行全行、行首 B(n) 与行尾（即 B(n+1)）。
- 3
对照组合意义行的划分示例理解「划分数」含义。
计算示例
例 1B(3) = 5
三元集 {a, b, c} 的划分：{abc}、{a}{bc}、{b}{ac}、{c}{ab}、{a}{b}{c}——共 5 种，正是三角第 3 行行首。
例 2行尾预告下一行
第 5 行是 52, 67, 87, 114, 151, 203，行尾 203 即 B(6)，也是第 6 行的行首。
注意事项
三角形的行首在左侧、行尾在右侧；有的文献把方向镜像，对照时注意行列定义。
B(20) ≈ 5.2 × 10¹³，30 行内全部 BigInt 精确无溢出。
贝尔数为奇数当且仅当 n ≡ 0 或 2 (mod 4)（Touhey 定理），可用于快速抽查。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-22
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Calcton. 贝尔三角形计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bell-triangle, 2026-09-22.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-22。
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