二项分布计算器

Q: 二项分布计算器 - n 次试验 k 次成功概率的计算公式是什么？

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k)。 期望 E(X) = np，方差 D(X) = np(1−p)；组合数 C(n, k) 用精确整数计算避免舍入误差。 在二项分布计算器 - n 次试验 k 次成功概率计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

Q: 二项分布计算器 - n 次试验 k 次成功概率的操作步骤是什么？

首先，填入试验次数 n（1 到 2000）、关心成功的次数 k（0 到 n）。 然后，填入单次成功率 p（0 到 1，可填 0.3 或 30% 对应的 0.3 形式）。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是二项分布计算器？

二项分布描述 n 次独立重复试验（伯努利试验）中恰好成功 k 次的概率模型。

每次试验只有成功/失败两种结果，成功率 p 保持不变，试验之间相互独立。

C(n, k) 枚举"k 次成功发生在哪几次"的所有排列方式，是概率中的计数因子。

期望 np 与方差 np(1−p) 给出"平均而言成功几次"与结果的波动幅度。

它是质量抽检、A/B 测试、遗传学与考试猜题等"次数型"问题的标准模型。

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k)

期望 E(X) = np，方差 D(X) = np(1−p)；组合数 C(n, k) 用精确整数计算避免舍入误差。

如何使用二项分布计算器

1
填入试验次数 n（1 到 2000）、关心成功的次数 k（0 到 n）。
2
填入单次成功率 p（0 到 1，可填 0.3 或 30% 对应的 0.3 形式）。
3
点击计算，得到单点概率 P(X=k)、累积 P(X≤k) 与尾部 P(X≥k)。
4
期望、方差、标准差与众数行帮助快速把握分布形状。

计算示例

例 1抛 10 次硬币恰好 5 次正面

n=10, k=5, p=0.5。C(10,5)=252，P = 252×(0.5)¹⁰ = 252/1024 ≈ 0.2461。期望 5，标准差 √2.5 ≈ 1.58。

例 210 题选择题（四选一）蒙对至少 7 题

n=10, p=0.25。P(X≥7) = 1 − P(X≤6) ≈ 1 − 0.9972 ≈ 0.0028，纯猜测几乎不可能蒙对 7 题以上。

注意事项

试验必须独立且 p 恒定；有放回抽样满足，无放回时应用超几何分布。
组合数按精确整数计算（BigInt），n 到 2000 也不会出现计数误差，概率本身仍受浮点精度限制。
P(X≥k) 通过 1 − P(X≤k−1) 求得；k=0 时尾部即全概率 1。
众数公式 ⌊(n+1)p⌋：当 (n+1)p 恰为整数时有两个并列众数。
n 大且 p 适中时可用正态近似 N(np, npq)；n 大 p 小（np 适中）用泊松近似。

常见问题

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k)。期望 E(X) = np，方差 D(X) = np(1−p)；组合数 C(n, k) 用精确整数计算避免舍入误差。在二项分布计算器 - n 次试验 k 次成功概率计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

试验必须独立且 p 恒定；有放回抽样满足，无放回时应用超几何分布；组合数按精确整数计算（BigInt），n 到 2000 也不会出现计数误差，概率本身仍受浮点精度限制。其余细节见页面注意事项一节。

抛 10 次硬币恰好 5 次正面：n=10, k=5, p=0.5。C(10,5)=252，P = 252×(0.5)¹⁰ = 252/1024 ≈ 0.2461。期望 5，标准差 √2.5 ≈ 1.58。

首先，填入试验次数 n（1 到 2000）、关心成功的次数 k（0 到 n）。然后，填入单次成功率 p（0 到 1，可填 0.3 或 30% 对应的 0.3 形式）。全程在页面内完成，结果即时更新。

二项分布描述 n 次独立重复试验（伯努利试验）中恰好成功 k 次的概率模型。

两者同属相关计算链条：排列组合计算器 - 排列组合数/中奖概率在线计算解决的是与之衔接的另一层问题。完成二项分布计算器 - n 次试验 k 次成功概率计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到排列组合计算器 - 排列组合数/中奖概率在线计算继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

10 题选择题（四选一）蒙对至少 7 题：n=10, p=0.25。P(X≥7) = 1 − P(X≤6) ≈ 1 − 0.9972 ≈ 0.0028，纯猜测几乎不可能蒙对 7 题以上。

本页二项分布计算器 - n 次试验 k 次成功概率计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

n 很大、p 很小而 np 适中时，二项分布收敛于参数 λ = np 的泊松分布，用于稀有事件计数。

概率恰好是 (p + q)^n 二项式展开中含 p^k 的那一项，故得名。

用对立事件：P(X≥1) = 1 − (1−p)^n，比逐项累加快得多。

大量重复整套 n 次试验后，平均每次整套试验成功的次数趋近 np。

换算成小数 0.3 填入即可；工具只接受 0 到 1 的数值。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-05

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-05。

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