笛卡尔积 A×B

什么是笛卡尔积计算器？

「有序对」是集合论精心构造的概念：Kuratowski 定义 (a,b) = {{a},{a,b}}——用无序集合编码顺序。

笛卡尔积推广到 k 个集合得到 k 维空间：ℝ² 就是 ℝ×ℝ。

从 A 到 B 的关系是 A×B 的任意子集（2^(|A||B|) 个），其中每行恰好出现一次的特例是函数（|B|^|A| 个）。

SQL 的 JOIN 语句底层就是笛卡尔积加筛选条件；关系数据库的「关系」一词正是指表的笛卡尔积结构。

交换律不成立：(1,2) 与 (2,1) 是不同有序对，所以 A×B 与 B×A 通常不同——尽管基数相同。

如何使用笛卡尔积计算器

1. 1

   输入集合 A 与 B 的元素（各 1–8 个，逗号分隔）

2. 2

   工具枚举全部有序对并给出 |A×B| = |A|·|B|

3. 3

   对比 A×B 与 B×A 的异同

4. 4

   读出关系总数与函数个数的推算

计算示例

注意事项

• (a,b) 与 (b,a) 通常不同；集合相等意义下 A×B = B×A 仅当 A = B 或有一方为空

• |A×B| = |A|·|B| 对无穷集同样成立（ℵ₀·ℵ₀ = ℵ₀——可数无穷的乘法）

• 元素重复会使「集合」退化为多重集，工具按去重集合处理

• 函数个数 |B|^|A| 中 |A| 是指数：A 有 5 元素、B 有 3 元素时共 243 个函数

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科