图着色色多项式计算器
色多项式 χ_G(t) 统计用 t 种颜色给图 G 合法顶点着色的方案数。常见图族有闭式公式，本工具直接给出多项式、代入求值与色数。
什么是色多项式计算器？
色多项式把"有多少种合法着色"表达为颜色数 t 的多项式。
它编码了图的大量组合信息：色数是使 χ_G(t) > 0 的最小整数 t。
完全图 K_n 的公式是递降阶乘：t(t−1)⋯(t−n+1)。
树只与顶点数有关：χ(树) = t(t−1)^(n−1)；偶圈为 (t−1)^n + (t−1)，奇圈为 (t−1)^n − (t−1)。
轮图由圈加一个通用邻接中心构成，色数为 3 或 4。
χ(K_n, t) = t(t−1)(t−2)⋯(t−n+1)
第一顶点 t 种选法，第二个 t−1 种，以此类推。
如何使用色多项式计算器
- 1
选择图族：完全图、树、偶圈、奇圈、轮图或空图。
- 2
输入顶点数 n。
- 3
输入可用颜色数 t，得到着色方案数。
- 4
结果同时给出色数 χ(G) 与等号检验（χ_G(χ) > 0 且 χ_G(χ−1) = 0）。
计算示例
例 1K_4 用 4 色
χ = 4·3·2·1 = 24 种方案，且 χ(K_4, 3) = 0，验证三色不够。
例 2奇圈 C_5
χ = (t−1)^5 − (t−1)，取 t=3 得 32−2=30：三种颜色给五边形着色有 30 种方式。
注意事项
着色方案把颜色当作有标签的：交换两种颜色的名字算新方案。
多项式次数等于顶点数，最高项系数为 1。
同构图有相同色多项式，但逆命题不成立。
删除-收缩递推 χ_G = χ_{G−e} − χ_{G/e} 可对任意图计算，本工具使用闭式公式。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 色多项式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/chromatic-polynomial, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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