德拉诺伊数计算器
德拉诺伊数数的是「可以走斜线」的网格路径：从 (0,0) 到 (m,n)，每步向右、向上或斜上。它的递推是三项和，闭式则是一个漂亮的二项系数卷积。
什么是德拉诺伊数计算器？
D(m, n) 计数三种步型（→、↑、↗）构成的全部路径，是组合设计里「宽松版帕斯卡三角」。
对角线上的 D(n, n) 称为中心德拉诺伊数：1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729……
D(m, n) 也计数把 2×(m×n) 格点集做「对角线单调匹配」的方式数，出现在统计与计算几何中。
D(m, n) = D(m−1, n) + D(m, n−1) + D(m−1, n−1)，边界 D(0, n) = D(m, 0) = 1
闭式：D(m, n) = Σ_{k=0}^{min(m,n)} C(m, k)·C(n, k)·2^k。
如何使用德拉诺伊数计算器
- 1
输入 m 与 n（0 到 300），工具用二维 DP 精确递推。
- 2
对照闭式和式 Σ C(m,k)C(n,k)2^k，工具会给出「与递推一致」的校验结论。
- 3
读取对角线参考行，与自己的网格问题对号入座。
计算示例
例 1D(2, 2) = 13
3×3 网格从左下到右上：4 条纯直角路径 + 8 条含一条斜步 + 1 条全斜，共 13 条。
例 2选票问题推广
D(n, n) 的中心序列在 OEIS 编号 A001850；D(3,3) = 63 是迷你棋盘问题的经典答案。
注意事项
DP 表是 O(mn) 项，n = 300 时约 9 万个 BigInt，内存与时间都很轻。
斜步一步跨一列一行，不能与「先右后上」两步混淆——后者算两条不同路径。
当只允许 → 与 ↗（不允许 ↑）时，答案退化为二项系数 C(m+n, n)。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-22
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Calcton. 德拉诺伊数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/delannoy-number, 2026-09-22.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-22。
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