错排计算器
输入 n（1–170），计算器输出错排数 !n 的精确值、容斥展开、递推链与 n!/e 近似对比。
不会填？用示例数据试算（示例：n=5）
什么是错排计算器？
错排（derangement）是"没有任何元素在原位"的排列：n 封信全部装错信封、n 个人抽签全没抽到自己，都是经典错排场景。
错排数记作 !n 或 Dₙ，用容斥原理计算：!n = n! · Σₖ₌₀ⁿ (−1)ᵏ/k!。
递推公式：!n = (n−1)·(!n−1 + !n−2)，初值 !1=0、!2=1。当 n 增大，!n/n! → 1/e ≈ 0.3679，即"全错"的概率稳定在 36.8%。
!n = n! · (1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + ⋯ + (−1)ⁿ/n!)；!n = (n−1)(!(n−1) + !(n−2))。
精确值用大数精确计算（支持到 n=170）；n>170 输出科学计数近似。
如何使用错排计算器
- 1
输入元素个数 n。
- 2
查看错排数精确值与"全部装错"的概率 !n/n!。
- 3
对比 n!/e 近似与精确值的偏差，观察 n≥5 后几乎重合。
计算示例
例 1例 1：三封信全装错
!3 = 3!(1−1+1/2−1/6) = 6×(1/3) = 2。两种装法：②③① 与 ③①②——只有 2 种方式让三封信全部错位。
例 2例 2：抽签概率
10 人抽 10 支签全没抽中自己的概率 = !10/10! ≈ 0.3679，与"人数无限"的理论值 1/e 几乎一致。
注意事项
!n 增长极快（比 n! 慢 e 倍），n=20 时已达 8.95×10¹⁸，超过 64 位整数的一半量级。
!"全错"的概率收敛到 1/e≈36.8%——无论 100 人还是 10 人，全没抽中的概率都差不多是这个数。
错排是容斥原理的经典应用：先算"至少一人在原位"的交集，再反演。
递推式的直观解释：元素 1 换到位置 i（n−1 种），随后要么 i 回到位置 1（!n−2），要么不回（!n−1）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-02
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引用本页
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Calcton. 错排计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/derangement, 2026-09-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-02。
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