方向导数与梯度计算器
方向导数 D_û = ∇f·û 度量函数沿单位向量 û 方向的瞬时变化率。选函数、定点、给方向角，即可看到梯度、方向导数与最大变化率方向。
什么是方向导数计算器？
方向导数把偏导数推广到任意方向：沿 û 的瞬时变化率。
计算方法是梯度与该方向单位向量的点积。
梯度方向是函数增长最快的方向，变化率恰为 |∇f|。
反方向最陡下降，变化率 −|∇f|；垂直于梯度方向变化率为零（等高线切向）。
梯度垂直于等高线，这是登山"沿最陡坡"直觉的数学表述。
D_û f = ∇f · û = |∇f| cos θ
û 为单位向量；θ 是 û 与梯度的夹角，θ = 0 时变化率最大。
如何使用方向导数计算器
- 1
选择函数：x²+y²、xy、x²−y² 或 sin x·cos y。
- 2
输入定点 (x₀, y₀) 与方向角 θ（度，从 x 轴正向逆时针）。
- 3
结果区给出梯度、单位向量与方向导数值。
- 4
最大增长方向角与最大变化率 |∇f| 一并列出。
计算示例
例 1f = x²+y² 在原点
梯度为零向量，任何方向导数都是 0——原点是驻点。
例 2f = xy 在 (1,1) 沿 45°
∇f = (1,1)，û = (√2/2, √2/2)，D = √2 ≈ 1.414，恰为最大变化率。
注意事项
û 必须单位化：非单位向量的点积会混入长度因素。
可微性是方向导数等于梯度点积的前提；不可微点需用定义单独验证。
方向导数最大即梯度方向，这是梯度下降法的理论根基。
等高线越密的地方 |∇f| 越大，爬山越陡。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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Calcton. 方向导数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/directional-derivative, 2026-09-11.
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最后更新：2026-09-11。
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