欧几里得-马林序列计算器
2、3、7、43、13——欧几里得「素数无穷」证明的最小素因子化：每一步都从「已知素数之积加一」里揪出下一个新素数。
什么是欧几里得-马林序列计算器？
欧几里得-马林序列由欧几里得的素数无穷性证明改造而来：a₁ = 2，此后每项取「1 + 前面所有项之积」的最小素因子。前 9 项：2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571。
前几步：1 + 2 = 3（素）；1 + 2·3 = 7（素）；1 + 2·3·7 = 43（素）；1 + 2·3·7·43 = 1807 = 13 × 139 → 最小素因子 13；1 + 前五项积 = 23479? = 53 × 443 → 53；1 + 前六项积 = 1244335 = 5 × 248867 → 5。
马林（Albert A. Mullin）1963 年提出该序列，目的是把欧几里得的「存在新素数」论证变成一个确定性的素数生成算法——每一项都保证是**全新**的素数（不整除前积）。
两个未决谜题：（1）该序列是否包含全部素数（马林猜想：是）；（2）「最大素因子变体」序列是否包含全部素数。第 9 项 38709183810571（14 位）之后项数增长极快，已计算项仅数十个。
a₁ = 2；aₙ = min{ p : p 素数且 p 整除 1 + a₁a₂⋯aₙ₋₁ }
实现：BigInt 前积 + Miller-Rabin 优先判定 + 试除取最小因子
如何使用欧几里得-马林序列计算器
- 1
输入迭代步数 K（1 到 9），工具逐项生成。
- 2
每步先对 1 + 前积做 Miller-Rabin 判定：素数则直接作为下一项，否则试除（≤ 10⁶）取最小素因子。
- 3
输出前 K 项与累积乘积，对照已知前 9 项锚点。
- 4
第 10 项起的精确计算需要 Pollard Rho 分解——超出本工具域。
计算示例
例 1示例：第 5 项为什么是 13
前 4 项积 = 2·3·7·43 = 1806；1 + 1806 = 1807。1807 非素数（Miller-Rabin 判定失败），试除：1807 = 13 × 139 → 最小素因子 13。注意 13 不在前 4 项中——新素数保证达成。
注意事项
每项必然是「新素数」：若 aₙ 整除前积，则 aₙ 整除 1 + 前积 − 前积 = 1，矛盾——这正是欧几里得论证的核心。
「最小素因子」选择的任意性使序列不唯一：换最大素因子得到另一条序列（Mullin 同文提出），两者性质截然不同。
前 9 项里 11 没出现——11 首次出现于第 12 项（序列 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, …）；马林猜想断言它终将出现。
第 9 项 38709183810571 是素数：对 14 位数的 Miller-Rabin 12 底数判定是确定性的（< 3.3×10²⁴），无需分解。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-22
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-22。
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