欧拉数（排列升高速）
欧拉数 A(n, m) 统计 1 到 n 的全部排列里恰有 m 次「后项大于前项」的个数。它与组合数不同源：递推为 A(n, m) = (n−m)A(n−1, m−1) + (m+1)A(n−1, m)。
什么是欧拉数（排列升高速）？
欧拉数 A(n, m) 计数恰有 m 个升高的排列，与欧拉函数（数论）完全不同。
第 n 行构成欧拉三角形：1、1 1、1 4 1、1 11 11 1……
Worpitzky 恒等式 x^k = Σ A(k, m)·C(x+m, k) 把幂和与组合数联系起来，是插值理论的基石。
A(n, m) = (n−m)·A(n−1, m−1) + (m+1)·A(n−1, m)，边界 A(1, 0) = 1
BigInt 逐层递推到第 n 行；每行合计恒等于 n!，内置校验。
如何使用欧拉数（排列升高速）
- 1
输入 n（1 到 60）与 m（0 到 n−1）。
- 2
点击计算得到 A(n, m) 的精确值。
- 3
查看行合计 n! 校验与对称性 A(n, m) = A(n, n−1−m)。
- 4
参考欧拉多项式条目了解幂和公式的生成关系。
计算示例
例 1A(3, 1) = 4
123、132、213、231、312、321 中恰有一个升高的有 132、213、231、312 共 4 个。
例 2幂和公式
1² + 2² + … + n² = Σ A(2, m)·C(n+m, 2) = C(n, 2) + C(n+1, 2) = n(n+1)(2n+1)/6。
注意事项
m 从 0 计数；A(n, 0) = A(n, n−1) = 1 恒成立。
分布随 n 增大逼近正态，中心在 (n−1)/2。
欧拉数与错排、斯特林数同属「计数排列结构」家族，但定义互不重叠。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-09
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Calcton. 欧拉数（排列升高速）[EB/OL]. https://www.calcton.com/eulerian-number, 2026-09-09.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-09。
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