21! = 51,090,942,171,709,440,000
21 的阶乘等于从 1 乘到 21 的全部整数之积：21! = 5.109094 × 10^19，共 20 位，末尾恰好 4 个零。阶乘是排列组合公式的基本积木，也是增长最快的常见数列之一。
51,090,942,171,709,440,000
21 的阶乘：1 × 2 × … × 21，从 1 乘到 21 的全部整数之积
位数
20 位
科学计数法
5.109094 × 10^19
末尾零
4 个
计算步骤
- 第一步：写出定义
21! = 1 × 2 × 3 × … × 21，即从 1 乘到 21 的全部整数之积。
- 第二步：递推关系
21! = 21 × 20! = 21 × 2,432,902,008,176,640,000 = 51,090,942,171,709,440,000。递推让每一项只需一次乘法。
- 第三步：素因数分解视角
把 1 到 21 各数分解质因数再合并：21! 的素因数中2 出现 18 次、3 出现 9 次、5 出现 4 次。每个素数 p 的次数由 Legendre 公式 e = Σ ⌊21/p^i⌋ 直接算出。
- 第四步：末尾零计数
末尾 4 个零：每个 10 = 2 × 5，因子 2 远多于 5，零的个数由 5 决定——⌊21/5⌋ = 4。
素因数分解视角
把 1 到 21 各数分解质因数再合并，21! 共含 8 个素因子（Legendre 公式 e = Σ ⌊n/p^i⌋）：
218395473111131171191
递推链
20! = 2,432,902,008,176,640,00021! = 51,090,942,171,709,440,00022! = 1,124,000,727,777,607,680,000
实际场景
赛制与调度爆炸
21 个对象的任意排列有 21! = 5.109094 × 10^19 种。哪怕是 13 个元素（13! ≈ 6.2 × 10^9）穷举也开始吃力——调度、加密、搜索算法的复杂度分析都拿阶乘当「爆炸」的代名词。
超出整型世界的边界
21! = 51,090,942,171,709,440,000 起超出 64 位无符号整数上限（约 1.8 × 10^19）；本页 21! 有 20 位，必须 BigInt 递推才能保住末位数字的精确。
相邻阶乘
常见问题
两个独立理由都指向 1：其一，空积定义——零个数相乘等于乘法单位元 1，正如空和等于 0；其二，递推一致性——n! = n × (n-1)! 代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，由 1! = 1 反解出 0! = 1。计数上「从 n 个元素选 0 个只有一种方法」也要求 C(n,0) = 1。
21! 末尾有 4 个零。末尾零来自因子 10 = 2 × 5，而 2 的因子远多于 5，所以零的个数由 5 决定：Legendre 公式 ⌊21/5⌋ = 4（25 = 5² 会额外贡献一个 5）。
双精度浮点（Number）只能精确表示到 18!（19! 起超出 2^53 安全整数）；64 位无符号整数到 20! 为止（21! 超出）；双精度能「装下」的最大阶乘是 170! ≈ 7.26 × 10^306，再大就溢出为 Infinity。本表 0!-100! 全部由 BigInt 精确递推，末位分毫不差。
阶乘最快。n! 每项乘上递增因子（×1、×2、×3……），2^n 每项固定 ×2，F(n) 每项平均 ×1.618。Stirling 公式 n! ≈ (n/e)^n × √(2πn) 表明阶乘超指数增长——比任何固定底的幂都快。
排列数 A(21, k) = 21! / (21 - k)!（从 21 个元素按顺序取 k 个）；组合数 C(21, k) = 21! / (k! × (21 - k)! )（不计顺序）。两者相除得 k!——顺序信息恰好值 k! 倍。
继续计算
本页收录自阶乘值表，共 101 个精确值覆盖 0! 到 100!。 查看 全部 101 个阶乘对照。