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Calcton

68! = 2,480,035,542,436,830,599,600,990,418,569,171,581,047,399,201,355,367,672,371,710,738,018,221,445,712,183,296,000,000,000,000,000

68 的阶乘等于从 1 乘到 68 的全部整数之积：68! = 2.480035 × 10^96，共 97 位，末尾恰好 15 个零。阶乘是排列组合公式的基本积木，也是增长最快的常见数列之一。

2,480,035,542,436,830,599,600,990,418,569,171,581,047,399,201,355,367,672,371,710,738,018,221,445,712,183,296,000,000,000,000,000

68 的阶乘：1 × 2 × … × 68，从 1 乘到 68 的全部整数之积

位数
97 位
科学计数法
2.480035 × 10^96
末尾零
15 个

计算步骤

  1. 第一步：写出定义

    68! = 1 × 2 × 3 × … × 68，即从 1 乘到 68 的全部整数之积。

  2. 第二步：递推关系

    68! = 68 × 67! = 68 × 36,471,110,918,188,685,288,249,859,096,605,464,427,167,635,314,049,524,593,701,628,500,267,962,436,943,872,000,000,000,000,000 = 2,480,035,542,436,830,599,600,990,418,569,171,581,047,399,201,355,367,672,371,710,738,018,221,445,712,183,296,000,000,000,000,000。递推让每一项只需一次乘法。

  3. 第三步：素因数分解视角

    把 1 到 68 各数分解质因数再合并：68! 的素因数中2 出现 66 次、3 出现 31 次、5 出现 15 次。每个素数 p 的次数由 Legendre 公式 e = Σ ⌊68/p^i⌋ 直接算出。

  4. 第四步：末尾零计数

    末尾 15 个零：每个 10 = 2 × 5，因子 2 远多于 5，零的个数由 5 决定——⌊68/5⌋ + ⌊68/25⌋ = 15。

素因数分解视角

把 1 到 68 各数分解质因数再合并，68! 共含 19 个素因子（Legendre 公式 e = Σ ⌊n/p^i⌋）：

266331515710116135174193232292312371411431471531591611671

递推链

67! = 36,471,110,918,188,685,288,249,859,096,605,464,427,167,635,314,049,524,593,701,628,500,267,962,436,943,872,000,000,000,000,00068! = 2,480,035,542,436,830,599,600,990,418,569,171,581,047,399,201,355,367,672,371,710,738,018,221,445,712,183,296,000,000,000,000,00069! = 171,122,452,428,141,311,372,468,338,881,272,839,092,270,544,893,520,369,393,648,040,923,257,279,754,140,647,424,000,000,000,000,000

实际场景

一副扑克牌的洗牌宇宙

52 张牌的排列数 52! ≈ 8.07 × 10^67。这个数大到：历史上所有洗过的牌几乎不可能有两副完全同序。本页 68! = 2.480035 × 10^96（97 位）让它相形见绌。

超出整型世界的边界

21! = 51,090,942,171,709,440,000 起超出 64 位无符号整数上限（约 1.8 × 10^19）；本页 68! 有 97 位，必须 BigInt 递推才能保住末位数字的精确。

相邻阶乘

67! = 36,471,110,918,188,685,288,249,859,096,605,464,427,167,635,314,049,524,593,701,628,500,267,962,436,943,872,000,000,000,000,00069! = 171,122,452,428,141,311,372,468,338,881,272,839,092,270,544,893,520,369,393,648,040,923,257,279,754,140,647,424,000,000,000,000,000

常见问题

两个独立理由都指向 1：其一，空积定义——零个数相乘等于乘法单位元 1，正如空和等于 0；其二，递推一致性——n! = n × (n-1)! 代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，由 1! = 1 反解出 0! = 1。计数上「从 n 个元素选 0 个只有一种方法」也要求 C(n,0) = 1。

68! 末尾有 15 个零。末尾零来自因子 10 = 2 × 5，而 2 的因子远多于 5，所以零的个数由 5 决定：Legendre 公式 ⌊68/5⌋ + ⌊68/25⌋ = 15（25 = 5² 会额外贡献一个 5）。

双精度浮点（Number）只能精确表示到 18!（19! 起超出 2^53 安全整数）；64 位无符号整数到 20! 为止（21! 超出）；双精度能「装下」的最大阶乘是 170! ≈ 7.26 × 10^306，再大就溢出为 Infinity。本表 0!-100! 全部由 BigInt 精确递推，末位分毫不差。

阶乘最快。n! 每项乘上递增因子（×1、×2、×3……），2^n 每项固定 ×2，F(n) 每项平均 ×1.618。Stirling 公式 n! ≈ (n/e)^n × √(2πn) 表明阶乘超指数增长——比任何固定底的幂都快。

排列数 A(68, k) = 68! / (68 - k)!（从 68 个元素按顺序取 k 个）；组合数 C(68, k) = 68! / (k! × (68 - k)! )（不计顺序）。两者相除得 k!——顺序信息恰好值 k! 倍。

继续计算

排列计算器 A(n,k) = n!/(n-k)!组合计算器 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)斐波那契数列对照（慢速增长对照）质因数分解对照（每个数的素因子视角）10 的幂对照（数量级标尺）

本页收录自阶乘值表，共 101 个精确值覆盖 0! 到 100!。 查看 全部 101 个阶乘对照。

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