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84! = 3,314,240,134,565,353,266,999,387,579,130,131,288,000,666,286,242,049,487,118,846,032,383,059,131,291,716,864,129,885,722,968,716,753,156,177,920,000,000,000,000,000,000

84 的阶乘等于从 1 乘到 84 的全部整数之积：84! = 3.314240 × 10^126，共 127 位，末尾恰好 19 个零。阶乘是排列组合公式的基本积木，也是增长最快的常见数列之一。

3,314,240,134,565,353,266,999,387,579,130,131,288,000,666,286,242,049,487,118,846,032,383,059,131,291,716,864,129,885,722,968,716,753,156,177,920,000,000,000,000,000,000

84 的阶乘：1 × 2 × … × 84，从 1 乘到 84 的全部整数之积

位数
127 位
科学计数法
3.314240 × 10^126
末尾零
19 个

计算步骤

  1. 第一步：写出定义

    84! = 1 × 2 × 3 × … × 84，即从 1 乘到 84 的全部整数之积。

  2. 第二步：递推关系

    84! = 84 × 83! = 84 × 39,455,239,697,206,586,511,897,471,180,120,610,571,436,503,407,643,446,275,224,357,528,369,751,562,996,629,334,879,591,940,103,770,870,906,880,000,000,000,000,000,000 = 3,314,240,134,565,353,266,999,387,579,130,131,288,000,666,286,242,049,487,118,846,032,383,059,131,291,716,864,129,885,722,968,716,753,156,177,920,000,000,000,000,000,000。递推让每一项只需一次乘法。

  3. 第三步：素因数分解视角

    把 1 到 84 各数分解质因数再合并：84! 的素因数中2 出现 81 次、3 出现 41 次、5 出现 19 次。每个素数 p 的次数由 Legendre 公式 e = Σ ⌊84/p^i⌋ 直接算出。

  4. 第四步：末尾零计数

    末尾 19 个零：每个 10 = 2 × 5，因子 2 远多于 5，零的个数由 5 决定——⌊84/5⌋ + ⌊84/25⌋ = 19。

素因数分解视角

把 1 到 84 各数分解质因数再合并，84! 共含 23 个素因子（Legendre 公式 e = Σ ⌊n/p^i⌋）：

281341519713117136174194233292312372412431471531591611671711731791831

递推链

83! = 39,455,239,697,206,586,511,897,471,180,120,610,571,436,503,407,643,446,275,224,357,528,369,751,562,996,629,334,879,591,940,103,770,870,906,880,000,000,000,000,000,00084! = 3,314,240,134,565,353,266,999,387,579,130,131,288,000,666,286,242,049,487,118,846,032,383,059,131,291,716,864,129,885,722,968,716,753,156,177,920,000,000,000,000,000,00085! = 281,710,411,438,055,027,694,947,944,226,061,159,480,056,634,330,574,206,405,101,912,752,560,026,159,795,933,451,040,286,452,340,924,018,275,123,200,000,000,000,000,000,000

实际场景

一副扑克牌的洗牌宇宙

52 张牌的排列数 52! ≈ 8.07 × 10^67。这个数大到：历史上所有洗过的牌几乎不可能有两副完全同序。本页 84! = 3.314240 × 10^126（127 位）让它相形见绌。

超过 Googol 的大数

70! ≈ 1.19 × 10^100，首次超越 Googol（10^100）。本页 84! 已达 3.314240 × 10^126——这类位数远超日常直觉的大数，只有 BigInt 与科学计数法能可靠承载。

相邻阶乘

83! = 39,455,239,697,206,586,511,897,471,180,120,610,571,436,503,407,643,446,275,224,357,528,369,751,562,996,629,334,879,591,940,103,770,870,906,880,000,000,000,000,000,00085! = 281,710,411,438,055,027,694,947,944,226,061,159,480,056,634,330,574,206,405,101,912,752,560,026,159,795,933,451,040,286,452,340,924,018,275,123,200,000,000,000,000,000,000

常见问题

两个独立理由都指向 1：其一，空积定义——零个数相乘等于乘法单位元 1，正如空和等于 0；其二，递推一致性——n! = n × (n-1)! 代入 n = 1 得 1! = 1 × 0!，由 1! = 1 反解出 0! = 1。计数上「从 n 个元素选 0 个只有一种方法」也要求 C(n,0) = 1。

84! 末尾有 19 个零。末尾零来自因子 10 = 2 × 5，而 2 的因子远多于 5，所以零的个数由 5 决定：Legendre 公式 ⌊84/5⌋ + ⌊84/25⌋ = 19（25 = 5² 会额外贡献一个 5）。

双精度浮点（Number）只能精确表示到 18!（19! 起超出 2^53 安全整数）；64 位无符号整数到 20! 为止（21! 超出）；双精度能「装下」的最大阶乘是 170! ≈ 7.26 × 10^306，再大就溢出为 Infinity。本表 0!-100! 全部由 BigInt 精确递推，末位分毫不差。

阶乘最快。n! 每项乘上递增因子（×1、×2、×3……），2^n 每项固定 ×2，F(n) 每项平均 ×1.618。Stirling 公式 n! ≈ (n/e)^n × √(2πn) 表明阶乘超指数增长——比任何固定底的幂都快。

排列数 A(84, k) = 84! / (84 - k)!（从 84 个元素按顺序取 k 个）；组合数 C(84, k) = 84! / (k! × (84 - k)! )（不计顺序）。两者相除得 k!——顺序信息恰好值 k! 倍。

继续计算

排列计算器 A(n,k) = n!/(n-k)!组合计算器 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)斐波那契数列对照（慢速增长对照）质因数分解对照（每个数的素因子视角）10 的幂对照（数量级标尺）

本页收录自阶乘值表，共 101 个精确值覆盖 0! 到 100!。 查看 全部 101 个阶乘对照。

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