拉格朗日四平方和定理
输入正整数 n（≤10⁶），工具用贪心回溯找 a²+b²+c²+d² = n 的一组表示。
什么是四平方和定理计算器？
拉格朗日四平方和定理：每个正整数都能写成至多四个整数的平方和。它与哈密顿四元数深刻关联——四元数范数的乘性（N(pq)=N(p)N(q)）把「素数可写成四平方和」归约到 2 与奇素数，而后者由 −1 是 mod p 的平方和保证（Wilson 定理可推）。对照：三平方和有精确排除型 n = 4ᵃ(8b+7)。
∀n ∈ ℕ⁺，∃a,b,c,d ∈ ℤ：n = a² + b² + c² + d²
拉格朗日 1770 年证明；费马早在 1638 年断言而未给出证明。
如何使用四平方和定理计算器
- 1
输入 n（≤10⁶），点击计算。
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工具按 a ≥ b ≥ c ≥ d 贪心回溯，输出一组表示与逐项复核，并附与三平方和排除型的对照说明。
计算示例
例 1完全平方
n = 100：100 = 10² + 0² + 0² + 0²，单项即成（四平方允许 0）。
例 2四项全用
n = 31：31 = 5² + 2² + 1² + 1² = 25 + 4 + 1 + 1；31 = 4⁰(8×3+7) 恰是三平方和排除型，必须用满四项。
注意事项
表示不唯一：31 = 25+4+1+1 = 25+4+2?（后式不合法）；工具返回按贪心序的第一组。
「至多四个」指允许 0；严格正数版本对 1,2,3 等小数需另行约定。
n = 4ᵃ(8b+7) 型不能写成三个平方和（勒让德三平方定理），却总能写成四个——两类定理的接力。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-16
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Calcton. 四平方和定理计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/four-square, 2026-09-16.
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最后更新：2026-09-16。
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