双曲函数计算器 - sinh/cosh/tanh 求值

什么是在线双曲函数计算器？

双曲函数是「用双曲线定义的三角函数亲戚」：sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ)/2，cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2，tanh(x) = sinh/cosh。名字里的「双曲」来自恒等式 cosh²x − sinh²x = 1——点 (cosh t, sinh t) 恰好落在双曲线 x² − y² = 1 上，正如 (cos t, sin t) 落在单位圆上。参数 t 的几何含义也平行：双曲函数里 t 是「扇形面积的两倍」，圆函数里是「扇形角度」。

它们的行为像指数函数的「平滑版加减」：cosh 永远 ≥ 1 且是偶函数（像开口向上的悬链），sinh 是奇函数单调递增，tanh 被夹在 −1 与 1 之间单调上升（S 形）。导数也极其干净：(sinh)′ = cosh、(cosh)′ = sinh——没有三角函数导数里的符号翻转，这是它们在微分方程里好用的根本原因。加法公式 cosh(x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 与余弦加法公式只差一个符号。

用途横跨工程与机器学习：均匀悬链（自重缆线）的形状就是 y = a·cosh(x/a)；理想传输线方程、相对论速度叠加（快速度）、悬索桥主缆都长着 cosh 的脸。机器学习里 tanh 是经典激活函数（输出居中于 0，比 sigmoid 收敛更快），softplus 与 SELU 等变体也都从指数结构里长出来。反函数 arsinh/arcosh/artanh 用对数表达，解方程时直接套。

sinh x = (eˣ−e⁻ˣ)/2；cosh x = (eˣ+e⁻ˣ)/2；tanh x = (e²ˣ−1)/(e²ˣ+1)；arsinh x = ln(x+√(x²+1))

示例：x = 1：sinh 1 ≈ 1.1752，cosh 1 ≈ 1.5431，tanh 1 ≈ 0.7616；验证 cosh²−sinh² = 2.3811 − 1.3811 = 1 ✓。反函数：arsinh(1.1752) = 1 ✓。

如何使用在线双曲函数计算器

1
输入实数 x；点击计算得到 sinh、cosh、tanh 与（如 |x| 足够）反函数 arsinh、arcosh、artanh 的值。
2
用恒等式自检：cosh²−sinh² 应恒等于 1；tanh = sinh/cosh 可交叉验证。
3
大 |x|（>20）时 cosh 会溢出为无穷，工具给出警告；此时 tanh 已饱和到 ±1。

计算示例

例 1悬链线垂度

缆线参数 a = 50 m，跨半宽 x = 20 m：垂度 = a(cosh(x/a) − 1) = 50(cosh 0.4 − 1) ≈ 50×0.0811 ≈ 4.05 m——输电线路弧垂表的背后全是 cosh 查值。

例 2激活函数输出

tanh(2) ≈ 0.964，tanh(5) ≈ 0.9999：输入绝对值超过 3 后梯度接近 0（饱和区），这正是训练时「神经元死亡」的数学根源，也是 ReLU 取而代之的原因。

注意事项

cosh 与 cos 名字相近但完全不同：cosh x ≥ 1 无界增长，cos x 在 [−1,1] 振荡；别把悬链线画成正弦波。
大参数溢出：|x| > 约 710 时 eˣ 超出双精度上限；本工具在 |x| > 20 时提示用渐近式 sinh ≈ cosh ≈ eˣ/2。
arcosh 只对 x ≥ 1 有定义、artanh 只对 |x| < 1 有定义，超范围输入会被拒绝——定义域来自恒等式本身。
tanh 饱和区（|tanh| → 1）数值精度损失：需要梯度计算时用 1 − tanh² 解析式，别用 1 − 输出² 硬减。

常见问题

sinh x = (eˣ−e⁻ˣ)/2；cosh x = (eˣ+e⁻ˣ)/2；tanh x = (e²ˣ−1)/(e²ˣ+1)；arsinh x = ln(x+√(x²+1))。示例：x = 1：sinh 1 ≈ 1.1752，cosh 1 ≈ 1.5431，tanh 1 ≈ 0.7616；验证 cosh²−sinh² = 2.3811 − 1.3811 = 1 ✓。反函数：arsinh(1.1752) = 1 ✓。在双曲函数计算器 - sinh/cosh/tanh 求值计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

cosh 与 cos 名字相近但完全不同：cosh x ≥ 1 无界增长，cos x 在 [−1,1] 振荡；别把悬链线画成正弦波；大参数溢出：|x| > 约 710 时 eˣ 超出双精度上限；本工具在 |x| > 20 时提示用渐近式 sinh ≈ cosh ≈ eˣ/2。其余细节见页面注意事项一节。

悬链线垂度：缆线参数 a = 50 m，跨半宽 x = 20 m：垂度 = a(cosh(x/a) − 1) = 50(cosh 0.4 − 1) ≈ 50×0.0811 ≈ 4.05 m——输电线路弧垂表的背后全是 cosh 查值。

首先，输入实数 x；点击计算得到 sinh、cosh、tanh 与（如 |x| 足够）反函数 arsinh、arcosh、artanh 的值。然后，用恒等式自检：cosh²−sinh² 应恒等于 1；tanh = sinh/cosh 可交叉验证。全程在页面内完成，结果即时更新。

双曲函数是「用双曲线定义的三角函数亲戚」：sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ)/2，cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2，tanh(x) = sinh/cosh。名字里的「双曲」来自恒等式 cosh²x − sinh²x = 1——点 (cosh t, sinh t) 恰好落在双曲线 x² − y²。

两者同属相关计算链条：悬链线计算器 - 跨距垂度与线长解决的是与之衔接的另一层问题。完成双曲函数计算器 - sinh/cosh/tanh 求值计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到悬链线计算器 - 跨距垂度与线长继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

激活函数输出：tanh(2) ≈ 0.964，tanh(5) ≈ 0.9999：输入绝对值超过 3 后梯度接近 0（饱和区），这正是训练时「神经元死亡」的数学根源，也是 ReLU 取而代之的原因。

输入实数 x。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页双曲函数计算器 - sinh/cosh/tanh 求值计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

把三角函数里的角度换成虚数：cosh x = cos(ix)、sinh x = −i·sin(ix)。欧拉公式让两族函数在复平面上统一，恒等式几乎逐条对应（只差符号）。

悬链线只受自重（沿弧长均匀），力学推导直接给出 y = a·cosh(x/a)；抛物线对应水平均布载荷（如桥面）。小垂度时两者视觉难分，大垂度差异显著。

tanh 输出以 0 为中心（零均值），使下一层输入居中、收敛更快；sigmoid 输出全正会导致梯度同号、zigzag 更新。两者都会饱和，深层网络改用 ReLU 系。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-08-31

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-08-31。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

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