詹森不等式计算器
凸函数最深刻的一句话：函数在均值处的值不超过均值的函数值。Jensen 不等式是 AM-GM、熵不等式与几乎所有凸优化理论的母体。
什么是詹森不等式计算器？
Jensen 不等式为什么重要：它把「弯曲方向」变成可操作的不等式：凸函数上，先平均后取函数 ≤ 先取函数后平均。AM-GM 是 ln 的凹性版本，信息论里 H(X) ≤ log|X| 也是它，机器学习的正则化与鲁棒统计更是遍地开花。
取等号何时发生：f 在参与平均的区间上是仿射（线性）时恒取等；严格凸函数只在 x₁=x₂（或 λ 取 0/1）时取等。
凹函数怎么办：把不等号反向即可：凹函数（如 ln x、√x、sin 在 [0,π]）满足 f(均值) ≥ f 的均值。
λ 的几何意义是什么：λ 是 x₁ 与 x₂ 之间的重心位置：λx₁+(1−λ)x₂ 是线段内一点，右侧是弦上同一位置的高度，左侧是曲线的高度。
f(λx₁ + (1−λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1−λ)f(x₂)，f 凸；凹函数反向
λ ∈ [0,1]；几何直观是弦永远在曲线之上
如何使用詹森不等式计算器
- 1
在函数编号框填 1–4：1=x²、2=|x|、3=eˣ、4=x⁴（均为凸函数）。
- 2
填入两点 x₁、x₂ 与权重 λ（0 到 1 之间）。
- 3
点击「计算」，比较曲线值 f(mid) 与弦值 λf(x₁)+(1−λ)f(x₂)。
- 4
观察凸性缺口：它衡量函数的「弯曲强度」，缺口为零说明该处近似线性。
计算示例
例 1例：x² 在 1 和 3 的中点
λ=0.5，mid = 2，左侧 f(2)=4；右侧 0.5·f(1)+0.5·f(3)=0.5+4.5=5。缺口 1 ≥ 0，弦在曲线上方 1 个单位——这正是方差公式的来源（E[X²]−(EX)²=Var）。
注意事项
λ 必须在开区间 (0,1) 内：取 0 或 1 时不等式退化为恒等式。
|x| 在整条实轴都是凸的，但在同号区间上是线性——选同号两点缺口为 0。
eˣ 增长极快，x 取大值时右侧数值可能溢出显示精度。
多元版本对随机变量同样成立：E[f(X)] ≥ f(E[X])（f 凸）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-18
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最后更新：2026-09-18。
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