拉格朗日乘数法（条件极值）计算器
拉格朗日乘数法把"在约束下求极值"化为方程组 ∇f = λ∇g：目标函数的梯度与约束的梯度平行处即驻点。本工具对二次型 f 在圆 x²+y²=r² 上求解，两个 λ 恰是特征值。
目标 f(x, y) = a·x² + b·y² + c·xy，约束 g: x² + y² = r²
什么是拉格朗日乘数法计算器？
拉格朗日乘数法求 f 在约束 g = 0 下的极值：构造 L = f − λg。
驻点条件 ∇f = λ∇g 的几何意义：f 的等值线与约束曲线相切。
对二次型 f = ax²+by²+cxy 与圆约束，λ 就是矩阵 [[a, c/2],[c/2, b]] 的特征值。
两个特征值分别对应极大与极小，f 的极值 = λ·r²。
经济学中最优配置、物理中的约束力学都源于这一方法。
∇f(x, y) = λ ∇g(x, y)，g(x, y) = 0
λ 为拉格朗日乘数；f 在圆上的驻点值 = λ·r²。
如何使用拉格朗日乘数法计算器
- 1
输入二次型系数 a、b、c。
- 2
输入约束圆半径 r。
- 3
结果给出两个 λ 乘数、对应驻点坐标与极大极小值。
- 4
对比 λ₁·r² 与 λ₂·r² 可直接读出最值。
计算示例
例 1f = x²+2y²+xy 约束单位圆
λ = 1.5 ± √2/2 ≈ 2.207 与 0.793：极大值 2.207 出现在 (0.383, 0.924) 方向，极小值 0.793 出现在垂直方向。
例 2纯平方和
f = x²+y²（c = 0）在单位圆上 λ 恒为 1：圆上每点函数值都是 1，极大极小重合。
注意事项
本工具覆盖二次型 + 圆约束这一有闭式解的经典情形。
λ 的个数等于约束个数：多约束问题需多个乘数。
驻点是否真是极值还需二阶条件或紧集上的连续性论证。
不等式约束（KKT 条件）是它的推广，λ 符号有额外要求。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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Calcton. 拉格朗日乘数法计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/lagrange-multipliers, 2026-09-12.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-12。
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