莱布尼茨级数（π/4）计算器
1674 年莱布尼茨发现欧洲第一个 π 的级数：π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − …。优雅得像首诗，慢得也像首诗——每 10 倍项数只多 1 位正确数字。
什么是莱布尼茨级数计算器？
莱布尼茨级数是什么：π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …，即 arctan 1 的泰勒展开（格雷戈里 1671 年已发现）。正负交替、分母走奇数，形态极简。
收敛有多慢：误差约 1/(2N)：N=1000 时 π 估计 3.14059 只有三位正确。想要 10 位需要百亿项——教学首选、计算末选。
为什么依然重要：它是「函数的泰勒展开 = 数值级数」的第一课，交替级数判别法（莱布尼茨判别法）的教科书案例，也是欧洲分析学崛起的标志之一。
谁最先发现：印度喀拉拉学派的马德哈瓦约 1400 年已领先 270 年发现，故文献中也称格雷戈里-莱布尼茨-马德哈瓦级数。
π/4 = Σ_{k=0}^{∞} (−1)^k / (2k+1) = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …
交替级数：误差小于被舍弃的首项；截断在正项后从下方逼近
如何使用莱布尼茨级数计算器
- 1
输入项数 N（1–10⁸）。
- 2
点击「计算」，得到部分和与 π 的估计值。
- 3
查看误差行与逼近方向（正项截断 → 从下方逼近）。
- 4
把 N 扩大 10 倍，验证只多一位正确数字的「慢收敛定律」。
计算示例
例 1例：N=1000
部分和 S = 0.7851481634599485，π 估计 = 4S = 3.140592653839794，误差 1.0×10⁻³ ≈ 1/(2·500)。与 π = 3.141592653589793 对比只有三位正确。
注意事项
误差上界是被舍弃的首项 1/(2N+1)，交替级数保证不越界。
截断在正项（偶 k）后估计偏低，截断在负项后偏高——可双向夹逼。
N=10⁸ 时浮点累加误差开始超过级数误差，别迷信更高 N。
想加速可用欧拉变换或取 arctan 恒等式（马钦公式 π/4 = 4arctan(1/5) − arctan(1/239)）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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Calcton. 莱布尼茨级数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/leibniz-pi, 2026-09-19.
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最后更新：2026-09-19。
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