韦达公式（2/π 无穷根式）计算器
1593 年韦达写下历史上第一个 π 的解析表达式：纯用根号嵌套的无穷乘积。每一层都是把圆二等分一次的代数足迹。
什么是韦达公式计算器？
韦达公式长什么样：2/π = (√2/2)·√((2+√2)/4)·√((2+√(2+√2))/4)·…——层层嵌套的根号乘起来等于 2/π。这是人类历史上第一个用无穷过程表示 π 的公式。
背后原理是什么：半角公式 cos(x/2) = √((1+cos x)/2) 反复应用于 cos(π/4)=√2/2：每个因子恰是 cos(π/2^(k+1))，几何上就是把圆连续二等分。
收敛多快：每层误差约乘 1/4（有效数字每层约加 0.6 位）：10 层到 6 位、25 层达双精度极限。比沃利斯快、比莱布尼茨快得多。
和黄金比有关系吗：有：若把韦达根号写成 2cos 形式，嵌套结构与黄金比的嵌套根式（φ = √(1+φ)）同族，都源自二次迭代的自相似。
2/π = (√2/2) · √((2+√2)/4) · √((2+√(2+√2))/4) · …，π ≈ 2/P_N
半角递推 a₁ = √2/2，a_{k+1} = √((1+a_k)/2)，P_N = ∏aₖ
如何使用韦达公式计算器
- 1
输入层数 N（1–30）。
- 2
点击「计算」，得到乘积 P 与 π 估计 2/P。
- 3
查看误差行：每层约缩小 4 倍。
- 4
对比 10 层与 25 层的精度，体会指数收敛。
计算示例
例 1例：N=10 层
P(10) = 0.6367870680，π 估计 = 2/P = 3.1415914215，误差 2.2×10⁻⁶；N=25 层时 π = 3.141592653589793 精确到双精度。第 1 层只有 2√2 ≈ 2.828 的粗估。
注意事项
N 上限 30：再多层数不再提升双精度结果。
第 1 层的估计 2.8284 偏差达 10%——韦达的威力从第 4 层后才显现。
系数 aₖ 严格单调递增趋近 1，乘积单调递减逼近 2/π。
写成 2cos 形式时与切比雪夫多项式、AGM 都有远亲关系。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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最后更新：2026-09-19。
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