沃利斯乘积（π/2）计算器
1655 年沃利斯用纯插值直觉写下：π/2 = (2·2/1·3)(4·4/3·5)(6·6/5·7)·…——无理数 π 第一次以无穷乘积的面目出现。
什么是沃利斯乘积计算器？
沃利斯乘积是什么：把偶数的平方夹在相邻奇数乘积之间：4/3 · 16/15 · 36/35 · … 连乘下去恰好收敛到 π/2 ≈ 1.5707963。沃利斯 1655 年用插值法发现，是最早的 π 无穷乘积。
收敛多快：很慢：误差约 π/(8N)，N=1000 时误差约 3.9×10⁻⁴——比韦达公式慢得多，但历史地位无可替代。
它有什么现代应用：正态分布的归一化常数 √(2/π) 由它给出；概率论中随机游走返回原点概率、量子谐振子基态也都踩在这个乘积上。
怎么证明：对 sin x 的无穷乘积（欧拉版本）在 x=π/2 取值即得；或用积分 ∫sinⁿ 的递推夹逼（沃利斯原始思路）。
π/2 = ∏_{k=1}^{∞} (2k)² / ((2k−1)(2k+1)) = 2/1·2/3·4/3·4/5·6/5·6/7·…
部分积 P_N ≈ (π/2)(1 − 1/(4N))，误差约 1/N 阶
如何使用沃利斯乘积计算器
- 1
输入项数 N（1–10⁶）。
- 2
点击「计算」，得到部分积 P(N) 与目标 π/2 的对比。
- 3
观察误差随 N 增大按 1/N 衰减。
- 4
用 π 估计 = 2·P(N) 一行直接读出圆周率逼近值。
计算示例
例 1例：N=1000
部分积 P(1000) = 1.570403873015201，π/2 = 1.570796326794897，误差 3.92×10⁻⁴ ≈ π/(8·1000)。π 估计 2·P ≈ 3.1408077——四位正确。
注意事项
部分积从下方单调逼近 π/2（每项因子都大于 1 但缺口递减）。
N 很大时逐项浮点乘法误差累积，10⁶ 项后精度不再提升。
别与韦达公式混淆：沃利斯是有理分数乘积，韦达是根号嵌套。
积分版本 ∫₀^{π/2} sinⁿx dx 的比值正是沃利斯乘积的来源。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-19
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最后更新：2026-09-19。
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