Owen's T 函数计算器
Owen 的 T 函数把「正态分布被一条斜线切走的一角」装进了一个函数：T(h,a) = (1/2π)∫₀ᵃ e^(−h²(1+t²)/2)/(1+t²) dt。
Owen 的 T 函数 T(h,a) = (1/2π)∫₀ᵃ e^(−h²(1+t²)/2)/(1+t²) dt，是正态二元概率里的「斜切一角」：平面 (X,Y) 落在直线 Y 大于 aX 之下的概率修正项。它在多元 t 分布、Beattie 分布、单侧截断正态与过程能力分析中反复出现。
特殊性：T(0,a) = arctan(a)/(2π) 是纯几何；a → ∞ 时退化为正态尾概率 (1−Φ(|h|))/2。它同时是 erf 与 arctan 两个世界的桥梁。
参考值
T(0,1) = 0.125，T(0,2) = 0.176161891971682，T(1,1) = 0.0667418821652926
T(2,3) = 0.0113750659715，T(1,∞) = 0.0793276269657285
什么是Owen's T 函数计算器？
几何直觉：单位正态密度被直线 y = ax 切出的扇形概率修正。T(0,a) = arctan(a)/(2π) 是纯几何扇形；h 越大切走部分越薄。
它统一了大量「正态 + 截断/斜切」场景：斜切正态分布的形状参数、多元 t 分布的概率、单侧假设检验的精确 p 值、Beattie 分布与过程能力指数的修正。
极限行为桥接两个世界：a → ∞ 时 T(h,∞) = (1 − Φ(|h|))/2（正态尾概率的一半），h = 0 时化为反正弦。
T(h, a) = (1/2π) ∫₀^a e^(−h²(1+t²)/2)/(1+t²) dt
被积函数是 e^(−h²/2)·e^(−h²t²/2)/(1+t²)，在 t = 0 处无奇性，自适应 Simpson 即可达 12 位精度。
如何使用Owen's T 函数计算器
- 1
输入 h（正态坐标，可正可负）与 a（斜线斜率或积分上限）。
- 2
读取 T(h,a) 主值，参考 Φ(h) 与 a → ∞ 极限行核对量级。
- 3
概率场景：P(X > h, Y < aX) 的组合概率可用 Φ 与 T 的线性组合拼出。
计算示例
例 1T(0,1)
T(0,1) = 0.125（arctan(1)/2π，纯几何）
例 2T(1,1)
T(1,1) = 0.0667418821652926
例 3T(2,3)
T(2,3) = 0.0113750659715
例 4T(1,∞)
T(1,∞) = (1 − Φ(1))/2 = 0.0793276269657285
注意事项
T 是 h 的偶函数、a 的奇函数：T(−h,a) = T(h,a)，T(h,−a) = −T(h,a)。
a 极大时积分上限取 40 已饱和（e^(−40²/2) 之下无概率质量），工具自动截断防溢出。
深尾部（|h| 大）时被积函数极窄，固定步长积分易漏峰——本工具 8000 段 Simpson 对 |h| ≤ 6 保证精度。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-27
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Calcton. Owen's T 函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/owens-t-function, 2026-09-27.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-27。
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