矩形数计算器
2 = 1×2、6 = 2×3、12 = 3×4、20 = 4×5……两个相邻整数的乘积叫矩形数：把 k 个点排一行、再排 k+1 个点一行，拼起来恰好是一个 k×(k+1) 的矩形。它比平方数「矮一行」，又恰好是三角形数的两倍——几何与数论在这里握手。
原理：矩形数（pronic / oblong number）形如 n = r·(r + 1)——两个连续整数之积，几何上是边长差 1 的矩形（2、6、12、20、30、42…）。它们是三角数 T_r = r(r+1)/2 的两倍，也是四角锥数公式的一部分；相邻差恒为 2r+2。判定只需 r = ⌊√n⌋ 后检查 r(r+1) 是否等于 n（再防一次浮点边缘用 (r+1)(r+2) 复核）。矩形数偶数位全为偶数；除 0 外没有矩形数是完全平方数，也没有矩形数是 2 的幂。任何矩形数 + 任意偶数平方? 不展开——它的核心身分是「三角形数的双倍」。
步骤：输入 n，工具计算 ⌊√n⌋ 并验证连续积，给出分解 r × (r+1) 或判否；随后枚举不超过 n 的前 10 个矩形数。
示例：56 = 7 × 8（是矩形数）；55 = 5 × 11（非连续积，否）；不超过 50 的矩形数 = 2、6、12、20、30、42；不超过 100 的矩形数 = 2、6、12、20、30、42、56、72、90（恰 9 个）。
注意事项：输入上限 10^6（√ 精度足够，更大 n 建议用大数工具）；1 不是矩形数（最小的正矩形数是 2 = 1×2）；矩形数与三角形数一一对应（n = 2T_r），与平方数互斥；求 ⌊√n⌋ 用 Math.sqrt 在 10^6 内无精度风险。
相关：三角形数工具给出 T_r 与矩形数的双倍关系；完全平方数判定在平方根工具中；多边形数工具系统覆盖五边形数、六边形数等 figurate 家族；因数对（连续整数）在乘法表中就是斜对角线。
什么是矩形数计算器？
矩形数（pronic number，亦称 oblong / rectangular / heteromecic number）：形如 k(k+1) 的正整数，即相邻两整数之积。前几项是 2、6、12、20、30、42、56、72、90——100 以内恰好这 9 个；每个矩形数都是偶数（相邻整数必一奇一偶）。
几何直观：k 个点加 k+1 个点拼成 k×(k+1) 矩形，比 k×k 正方形多出 k 个点、比 (k+1)×(k+1) 少 k+1 个点——它是两种正方形之间的「过渡层」，名字「矩形数」由此而来。
与三角形数的精确关系：k(k+1) = 2·T_k，其中 T_k = k(k+1)/2 是第 k 个三角形数——矩形数是三角形数的两倍；反过来把矩形数折半就得到三角形数，两族一一对应。
判定一行代码：4n + 1 为完全平方数 ⇔ n 是矩形数。56 → 225 = 15² 通过；55 → 221 = 13×17 不是平方 → 55 不是矩形数。整数平方根检验即可，无需遍历。
本工具对 1 ≤ n ≤ 10^15 做判定（输出 k 与 4n+1 检验值），并可枚举范围内全部矩形数；相邻矩形数之差 2(k+1) 严格递增（4、6、8、10、…），序列间距越来越宽。
n 为矩形数 ⇔ n = k(k+1) ⇔ 4n + 1 是完全平方数；56 = 7×8，4×56 + 1 = 225 = 15²
配方：4k² + 4k + 1 = (2k+1)²，故 4n+1 = (2k+1)²；反之 4n+1 = m²（m 奇）给出 k = (m−1)/2。判定只需一次平方检验。
如何使用矩形数计算器
- 1
输入正整数 n（1 到 10^15）。
- 2
点击判定：工具计算 4n+1 并开方检验，命中则给出 k（n = k(k+1)）。
- 3
切换枚举模式输入上限 limit，得到范围内全部矩形数与相邻差序列。
计算示例
例 1n = 56
4×56 + 1 = 225 = 15² → 矩形数，k = 7（7×8 = 56）；它也是 100 以内第 7 个矩形数。
例 2n = 55
4×55 + 1 = 221 = 13×17，不是完全平方 → 不是矩形数；55 恰好卡在 6×9 的「空当」里。
例 3枚举 limit = 100
得到 2、6、12、20、30、42、56、72、90 共 9 个；相邻差 4、6、8、10、12、14、16、18 严格递增。
注意事项
矩形数全部为偶数且个位分布不均：k ≡ 0 或 4 (mod 5) 时个位是 0，k ≡ 2 或 3 (mod 5) 时个位是 2 或 6——但不要期待规律性的个位循环覆盖所有偶数。
矩形数与平方数相邻但不重叠：n(n+1) 永远卡在 n² 与 (n+1)² 之间，因此不存在既是平方又是矩形的正整数（除 0）。
把 k(k+1) 写成 k² + k 可见它是二次多项式值：矩形数是「二阶等差数列」，二阶差恒为 2——这与三角形数（二阶差 1）同构，只是斜率翻倍。
高斯在小学就发现 1+2+…+100 = 50×101 = 5050：矩形数 k(k+1) 正是「首尾配对」计数的心脏，任何等差数列求和都会撞见它。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-02
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 矩形数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/pronic-numbers, 2026-10-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-02。
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